Русская Википедия:Ряд Гильберта и многочлен Гильберта
Функция Гильберта, ряд Гильберта и многочлен Гильберта градуированной коммутативной алгебры, конечно порождённой над полем — это три тесно связанных понятия, которые позволяют измерить рост размерности однородных компонент алгебры.
Эти понятия были распространены на Шаблон:Нп5 и градуированные или фильтрованные модули над этими алгебрами, а также на когерентные пучки над проективными схемами.
Эти понятия часто используются в следующих ситуациях:
- Фактор кольца многочленов по однородному идеалу, градуированный полной степенью.
- Фактор кольца многочленов по идеалу, фильтрованный полной степенью.
- Фильтрация локального кольца степенями его максимального идеала.
Многочлен Гильберта и ряд Гильберта играют важную роль в вычислительной алгебраической геометрии, так как они предоставляют простейший известный способ вычисления размерности и степени алгебраического многообразия, заданного явными полиномиальными уравнениями.
Определения и основные свойства
Рассмотрим конечно порождённую градуированную коммутативную алгебру Шаблон:Math над полем Шаблон:Math, которая является конечно порождённой элементами положительной степени. Это значит, что
- <math>S = \bigoplus_{i \ge 0} S_i\ </math>
и что <math>S_0=K</math>.
Функция Гильберта
- <math>HF_S\;:\;n\mapsto \dim_K\,S_n</math>
переводит целое число Шаблон:Math в размерность векторного пространства Шаблон:Math над полем Шаблон:Math. Ряд Гильберта, который называется рядом Гильберта — Пуанкаре в более общей ситуации градуированных векторных пространств, — это формальный ряд
- <math>HS_S(t)=\sum_{n=0}^{\infty} HF_S(n)\,t^n.</math>
Если Шаблон:Math порождена Шаблон:Math однородными элементами положительных степеней <math>d_1, \ldots, d_h</math>, то сумма ряда Гильберта является рациональной функцией
- <math>HS_S(t)=\frac{Q(t)}{\prod_{i=1}^h (1-t^{d_i})}\,,</math>
где Шаблон:Math — это многочлен с целыми коэффициентами.
Если Шаблон:Math порождена элементами степени 1, то сумма ряда Гильберта может быть переписана как
- <math>HS_S(t)=\frac{P(t)}{(1-t)^\delta}\,,</math>
где Шаблон:Math — многочлен с целыми коэффициентами, и <math>\delta</math> — размерность Крулля Шаблон:Mvar.
В этом случае разложение этой рациональной функции в ряж имеет вид
- <math>HS_S(t)=P(t)\,\left(1+\delta\,t+\cdots +\binom{n+\delta-1}{\delta-1}\,t^n+\cdots\right)</math>
где биномиальный коэффициент <math>\binom{n+\delta-1}{\delta-1}</math> равен <math>\;\frac{(n+\delta-1)(n+\delta-2)\cdots (n+1)}{(\delta-1)!}\;</math> при <math>n>-\delta</math> и нулю в противном случае.
Если <math>\textstyle P(t)=\sum_{i=0}^d a_it^i,</math> то коэффициент при <math>t^n</math> в <math>HS_S(t)</math> — это
- <math>HF_S(n)= \sum_{i=0}^d a_i \binom{n -i+\delta-1}{\delta-1}\,.</math>
При <math>n\ge i-\delta+1</math> член с индексом Шаблон:Mvar в этой сумме — это многочлен от Шаблон:Mvar степени <math>\delta-1</math> со старшим коэффициентом <math>a_i/(\delta-1)!.</math> Это показывает, что существует единственный многочлен <math>HP_S(n)</math> с рациональными коэффициентами, который равен <math>HF_S(n)</math> при достаточно больших Шаблон:Mvar. Этот многочлен называется многочленом Гильберта, и имеет вид
- <math>HP_S(n)= \frac{P(1)}{(\delta-1)!}\,n^{\delta-1} + {}\text{terms of lower degree in } n. </math>
Многочлен Гильберта — целозначный многочлен, так как размерности являются целыми числами, но он почти никогда не имеет целые коэффициенты.
Все эти определения можно распространить на конечно порождённые градуированные модули над Шаблон:Math.
Функция Гильберта, ряд Гильберта и многочлен Гильберта фильтрованной алгебры вычисляются для ассоциированной градуированной алгебры.
Многочлен Гильберта проективного многообразия Шаблон:Math в Шаблон:Math определяется как многочлен Гильберта однородного координатного кольца Шаблон:Math.
Градуированные алгебры и кольца многочленов
Кольца многочленов и их факторы по однородным идеалам — это типичные градуированные алгебры. Обратно, если Шаблон:Math — градуированная алгебра над полем Шаблон:Math, порождённая Шаблон:Math однородными элементами Шаблон:Math степени 1, то отображение, которое переводит Шаблон:Math в Шаблон:Mvar, определяет гомоморфизм градуированных колец из <math>R_n=K[X_1,\ldots, X_n]</math> на Шаблон:Math. Его ядро — однородный идеал Шаблон:Math, и это определяет изоморфизм градуированных алгебр между <math>R_n/I</math> и Шаблон:Math.
Таким образом, градуированные алгебры, порождённые однородными элементами степени 1 — это в точности факторы колец многочленов по однородным идеалам (с точностью до изоморфизма). Поэтому в последующих разделах этой статьи будут рассматриваться факторы колец многочленов по идеалам.
Свойства ряда Гильберта
Аддитивность
Ряд Гильберта и многочлен Гильберта аддитивны в точных последовательностях. Более точно, если
- <math>0 \;\rightarrow\; A\;\rightarrow\; B\;\rightarrow\; C \;\rightarrow\; 0</math>
является точной последовательностью градуированных или фильтрованных модулей, то мы имеем
- <math>HS_B=HS_A+HS_C</math>
и
- <math>HP_B=HP_A+HP_C.</math>
Это немедленно следует из аналогичного свойства для размерностей векторных пространств.
Фактор по элементу, не являющемуся делителем нуля
Пусть Шаблон:Math — градуированная алгебра и Шаблон:Math — однородный элемент Шаблон:Math степени Шаблон:Math, который не является делителем нуля. Тогда мы имеем
- <math>HS_{A/(f)}(t)=(1-t^d)\,HS_A(t)\,.</math>
Это следует из аддитивности для точной последовательности
- <math>0 \;\rightarrow\; A^{[d]}\; \xrightarrow{f}\; A \;\rightarrow\; A/f\rightarrow\; 0\,,</math>
где стрелка с буквой Шаблон:Math — это умножение на Шаблон:Math, и <math>A^{[d]}</math> — это градуированный модуль, полученный из Шаблон:Math сдвигом степеней на Шаблон:Math, так что умножение на Шаблон:Math имеет степень 0. В частности, <math>HS_{A^{[d]}}(t)=t^d\,HS_A(t)\,.</math>
Ряд Гильберта и многочлен Гильберта кольца многочленов
Ряд Гильберта кольца многочленов <math>R_n=K[x_1, \ldots, x_n]</math> от <math>n</math> переменных равен
- <math>HS_{R_n}(t) = \frac{1}{(1-t)^{n}}\,.</math>
Из этого следует, что многочлен Гильберта равен
- <math> HP_{R_n}(k) = {{k+n-1}\choose{n-1}} = \frac{(k+1)\cdots(k+n-1)}{(n-1)!}\,.</math>
Доказательство того, что ряд Гильберта имеет такой вид получается по индукции применением предыдущей формулы для фактора по элементу, не являющемуся делителем нуля (в нашем случае — по <math>x_n</math>) и из того, что <math>HS_K(t)=1\,.</math>
Вид ряда Гильберта и размерность
Градуированная алгебра Шаблон:Math, порождённая однородными элементами степени 1, имеет размерность Крулля 0, когда максимальный однородный идеал, то есть идеал, порождённый однородными элементами степени 1, нильпотентен. Из этого следует, что размерность Шаблон:Math как векторного пространства надШаблон:Math конечна и что ряд Гильберта Шаблон:Math — это многочлен Шаблон:Math, такой, что Шаблон:Math равно размерности Шаблон:Math как векторного пространства над Шаблон:Math.
Если размерность Крулля Шаблон:Math положительна, то существует однородный элемент Шаблон:Math степени 1, не являющийся делителем нуля (на самом деле почти все элементы степени 1 таковы). Размерность Крулля Шаблон:Math равна размерности Крулля Шаблон:Math минус один.
Из аддитивности ряда Гильберта следует, что <math>HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,HS_A(t)</math>. Итерируя это размерность Шаблон:Math раз, мы получаем алгебру размерности 0, ряд Гильберта которой — многочлен Шаблон:Math. Это показывает, что ряд Гильберта Шаблон:Math равен
- <math>HS_A(t)=\frac{P(t)}{(1-t)^d}</math>
где многочлен Шаблон:Math таков, что Шаблон:Math и Шаблон:Math — это размерность Крулля алгебры Шаблон:Math.
Из этой формулы для ряда Гильберта следует, что степень многочлена Гильберта равна Шаблон:Math и его старший коэффициент — <math>\frac{P(1)}{d!}</math>.
Степень проективного многообразия и теорема Безу
Ряд Гильберта позволяет вычислить степень алгебраического многообразия как значение в 1 числителя ряда Гильберта. Это также даёт простое доказательство теоремы Безу.
Рассмотрим проективное алгебраическое множество Шаблон:Mvar размерности большей нуля, определённое как множество нулей однородного идеала <math>I\subset k[x_0, x_1, \ldots, x_n]</math>, где Шаблон:Mvar — поле, и пусть <math> R=k[x_0, \ldots, x_n]/I</math>. Если Шаблон:Mvar — однородный многочлен степени <math>\delta</math>, который не является делителем нуля в Шаблон:Mvar, точная последовательность
- <math>0 \;\rightarrow\; R^{[\delta]}\; \xrightarrow{f}\; R \;\rightarrow\; R/\langle f\rangle\;\rightarrow\; 0,</math>
показывает, что
- <math>HS_{R/\langle f \rangle}(t)=(1-t^\delta)HS_R(t).</math>
Рассматривая числители, получаем доказательство следующего обобщения теоремы Безу:
Если Шаблон:Mvar — это однородный многочлен степени <math>\delta</math>, который не является делителем нуля в Шаблон:Mvar, то степень пересечения Шаблон:Mvar с гиперповерхностью, определённой Шаблон:Mvar, равна произведению степени Шаблон:Mvar на <math>\delta</math> .
Более геометрически это можно переформулировать следующим образом: если проективная гиперповерхность степени Шаблон:Math не содержит ни одной неприводимой компоненты алгебраического множества степени Шаблон:Math, то степень их пересечения равна Шаблон:Math.
Обычная теорема Безу легко выводится из этого утверждения, если начинать с гиперповерхности и последовательно пересекать её с Шаблон:Math другими гиперповерхностями.
Литература
- Eisenbud, David. Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
- Schenck, Hal. Computational Algebraic Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-53650-9.
- Stanley, Richard. "Hilbert functions of graded algebras", Advances in Math., 28 (1), pp. 57–83, 1978.
