Русская Википедия:Связность (дифференциальная геометрия)
Шаблон:Значения Связность — структура на гладком расслоении, состоящая в выборе «горизонтального направления» в каждой точке пространства расслоения.
Точнее: Пусть дано гладкое расслоение <math>\pi:E\to B</math>, связность есть подрасслоение <math>R</math> касательного расслоения <math>TE</math> над <math>E</math>, такое что для каждой точки <math>x\in E</math> проекция
- <math>d_x\pi(R_x)=T_{\pi(x)}B</math>
здесь <math>d_x\pi</math> обозначает дифференциал <math>\pi</math> в точке <math>x</math>.
Связность позволяет дифференцировать сечения расслоения по направлению.
Связность позволяет определить параллельное сечение вдоль кривой в базе расслоения. В частности связность позволяет построить каноническую тривиализацию расслоения над кривой (не имеющей самопересечений), однако построить для расслоения над многообразием каноническую тривиализацию в некоторой окрестности возможно тогда и только тогда, когда там равен нулю тензор кривизны заданной связности. На физическом языке в терминах пространства-времени это говорит, что можно ввести локально лоренцеву систему отсчёта вдоль произвольной несамопересекающейся кривой, но невозможно в окрестности точки, если тензор кривизны этой окрестности отличен от нуля.
Название связность происходит от того, что посредством неё связываются касательные пространства в разных точках многообразия. Именно связность организовывает структуру касательного расслоения. Проще говоря, связность позволяет переносить геометрические объекты из одной точки многообразия в другую и необходима для сравнения объектов в разных точках многообразия.
Типы связностей
- Аффинная связность — линейная связность на касательном расслоении многообразия.
- Связность Леви-Чивиты — аффинная связность с нулевым кручением на римановом (или псевдоримановом) многообразии <math>M</math>, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен.
Шаблон:Нет ссылок
Шаблон:Geometry-stub
