Русская Википедия:Свёртка (математический анализ)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Свёртка, конволюция — операция в функциональном анализе, которая при применении к двум функциям <math>f</math> и <math>g</math> возвращает третью функцию, соответствующую взаимнокорреляционной функции <math>f(x)</math> и <math>g(-x)</math>. Операцию свёртки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на произвольных измеримых пространствах, и может рассматриваться как особый вид интегрального преобразования. В дискретном случае свёртка соответствует сумме значений <math>f</math> с коэффициентами, соответствующими смещённым значениям <math>g</math>, то есть <math>(f * g)(x)= f(1)g(x-1) + f(2) g(x-2) + f(3)g(x-3)+\dots</math>

Файл:Convolution of box signal with itself2.gif

Свёртка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.

Файл:Convolution of spiky function with box2.gif

Свёртка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Определение

Пусть <math>f,g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>. Тогда их свёрткой называется функция <math>f * g:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, определённая формулой

<math>(f * g)(x)\ </math>

<math>\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{\mathbb{R}^n} f(y)\, g(x-y)\, dy = \int \limits_{\mathbb{R}^n} f(x-y)\, g(y)\, dy.</math>

В частности, при <math>n=1</math> формула принимает вид

<math>(f * g)(x)\ </math>

<math>\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(y)\, g(x-y)\, dy = \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x-y)\, g(y)\, dy.</math>

Свёртка <math>(f * g)(x)</math> определена при почти всех <math>x \in {\mathbb{R}^n}</math> и интегрируема.

В случае, когда <math>x \in \mathbb{R} </math>, а функции <math>f(x),~g(x)</math> определены на промежутке <math>[0,+\infty)</math>, свёртку можно записать в виде

<math>(f * g)(x)\ </math>

<math>\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{0}^{x} f(y)\, g(x-y)\, dy = \int \limits_{0}^{x} f(x-y)\, g(y)\, dy.</math>

Впервые интегралы, являющиеся свёрткой двух функций, встречаются в трудах Леонарда Эйлера (1760-е годы); позднее свёртка появляется у Лапласа, Лакруа, Фурье, Коши, Пуассона и других математиков. Обозначение свёртки функций при помощи звёздочки впервые предложил Вито Вольтерра в 1912 году на своих лекциях в Сорбонне (опубликованы годом позже).

Свойства

Коммутативность:

<math>f * g = g * f</math>.

Ассоциативность:

<math>f * (g * h) = (f * g) * h</math>.

Линейность (дистрибутивность по сложению и ассоциативность с умножением на скаляр):

<math>(f_1+f_2) * g = f_1 * g + f_2 * g</math>,

<math>f * (g_1+g_2) = f * g_1 + f * g_2</math>,

<math>(a f) * g = a (f*g) = f * (ag), \quad \forall a \in \mathbb{R}</math>.

Правило дифференцирования:

<math>\mathrm{D}(f * g) = \mathrm{D}f * g = f * \mathrm{D}g</math>,

где <math>\mathrm{D}f</math> обозначает производную функции <math>f</math> по любой переменной.

Преобразование Лапласа:

<math>\mathcal{L}\{f(x)*g(x)\}=\mathcal{L}\{f(x)\}\cdot\mathcal{L}\{g(x)\}</math>.

Свойство фурье-образа:

<math>\mathfrak{F}[f * g] = \mathfrak{F} [f] \cdot \mathfrak{F} [g]</math>,

где <math> \mathfrak{F}[]</math> обозначает преобразование Фурье функции.

Если <math>\mathcal W</math> является матрицей дискретного преобразования Фурье, то:

<math>\mathcal W(C^{(1)}x \ast C^{(2)}y) =(\mathcal W C^{(1)} \bull \mathcal W C^{(2)})(x \otimes y)= \mathcal W C^{(1)}x \circ \mathcal W C^{(2)}y </math>,

где <math> \bull </math> — символ торцевого произведения матриц, <math> \otimes </math> обозначает произведение Кронекера, <math> \circ </math> — символ произведения Адамара (тождество является следствием свойств отсчётного скетча).

Пример

График-гистограмма осадков

График функции <math>{\color{Red}g(x)}</math>— количество выпавшего снега в килограммах на начало часа.

Пусть стоит задача вычислить, как будет изменяться количество снега на каком-либо участке земли в зависимости от времени. Решение этой задачи можно разделить на два этапа:

1. построить модель выпадения снега и модель таяния снега.
2. каким-то образом соединить эти две модели в одну.

   Простой график одной ветви гиперболы.

   График <math>{\color{Blue}f(x)}</math> зависимости количества нерастаявшего снега от времени прошедшего с момента его выпадения.

Задачи первого этапа решаются путём наблюдений и опытов, а задачи второго этапа — свёрткой получившихся на первом этапе моделей.

Пусть в результате решения задачи на первом этапе было построено две зависимости (математические модели):

• зависимость количества выпавшего снега от текущего времени <math>{\color{Red}g(t)}</math>,
• зависимость доли нерастаявшего снега от времени, прошедшего с момента его выпадения <math>{\color{Blue}f(\tau)}</math>.

Если бы снег не начинал таять, количество всех выпавших осадков <math>G</math> можно было бы посчитать путём сложения в дискретном случае:

<math> G=\sum_{t=0}^{T} g(t)</math>,

или путём интегрирования в случае непрерывном:

<math>G=\int\limits_0^{T} g(t)\, dt</math>.

Но в данном случае таяние снега имеет место и, более того, оно зависит не только от текущего общего количества снега, но и от того, в какой момент времени выпал этот конкретный объём снега. Так снег, выпавший две недели назад, может уже испариться, в то время как снег, выпавший полчаса назад, ещё будет лежать и даже не начнёт подтаивать.

Получается, что для снега, выпавшего в разное время, нужно построить свою модель таяния и как-то сложить все эти модели вместе.

Для этих целей и можно использовать понятие математической свёртки. Пусть в момент времени <math>t</math> рассматривается снег, который выпал в момент времени <math>\tau</math>, тогда

• <math>\tau</math> — время выпадения снега. Например, 13:00;
• <math>{\color{Red}g(\tau)}</math> — количество выпавшего в момент <math>{\tau}</math> снега. Например, 7 кг;
• <math>t</math> — момент времени, для которого нам нужно узнать состояние выпавшего в <math>\tau</math> снега. Например, 15:00;
• <math>t-\tau</math> — количество времени, прошедшее с момента выпадения до момента расчёта оставшейся доли снега. То есть Шаблон:S;
• <math>{\color{Blue}f(t-\tau)}</math> — доля снега, которая не растаяла после того, как пролежала <math>t-\tau</math> часов.

Нужно для каждого количества <math>{\color{Red}g(\tau)}</math> снега, выпавшего в момент времени <math>\tau</math>, сложить множество моделей <math>f(t-\tau)</math> в одну функцию. Если это сделать, получится сумма в дискретном случае:

<math>w(t)=\sum\limits_{\tau = 0}^t g(\tau) f(t - \tau),</math>

или интеграл в непрерывном:

<math>w(t)=\int\limits_{\tau = 0}^t g(\tau) f(t - \tau) d\tau.</math>

Графически функция <math>w(t)</math> изображена ниже, где разными цветами представлены вклады каждой кучи снега из графика <math>{\color{Red}g(x)}</math>.

График свёртки количества выпавшего снега и закона растаивания.

График функции <math>w(t)</math>, где разным цветом представлен вклад каждой кучи снега (цвета вкладов соответствуют цветам куч выпавшего снега на графике <math>{\color{Red}g(x)}</math> выше)

Функция <math>w(t)</math> полностью моделирует поведение снега, выпавшего согласно модели <math>{\color{Red}g(x)}</math>. Так, на графике выше видно, что общее количество снега увеличивается тремя скачками, но снег начинает таять сразу, не дожидаясь выпадения других осадков.

Свёртка на группах

Пусть <math>G</math> — группа, оснащённая мерой <math>m</math>, и <math>f,g:G \to \mathbb{R}</math> — две функции, определённые на <math>G</math>. Тогда их свёрткой называется функцияШаблон:Нет АИ

<math>(f * g)(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G.</math>

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math> и две меры <math>\mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}</math>. Тогда их свёрткой называется мераШаблон:Нет АИ

<math>\mu * \nu (A) = \mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \in A \}\right),\quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),</math>

где <math>\mu \otimes \nu</math> обозначает произведение мер <math>\mu</math> и <math>\nu</math>.

Свойства

• Пусть <math>\mu,\nu</math> абсолютно непрерывны относительно меры Лебега <math>m</math>. Обозначим их производные Радона — Никодима:

<math>f_{\mu} = \frac{d\mu}{dm},\quad f_{\nu} = \frac{d\nu}{dm}.</math>

Тогда <math>\mu * \nu</math> также абсолютно непрерывна относительно <math>m</math>, и её производная Радона — Никодима <math>f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm}</math> имеет видШаблон:Нет АИ

<math>f_{\mu * \nu} = f_{\mu} * f_{\nu}.</math>

• Если <math>\mu,\nu</math> — вероятностные меры, то <math>\mu * \nu</math> также является вероятностной мерой.

Свёртка распределений

Если <math>\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y</math> — распределения двух независимых случайных величин <math>X</math> и <math>Y</math>, тоШаблон:Нет АИ

<math>\mathbb{P}^{X+Y} = \mathbb{P}^X * \mathbb{P}^Y,</math>

где <math>\mathbb{P}^{X+Y}</math> — распределение суммы <math>X+Y</math>. В частности, если <math>X,Y</math> абсолютно непрерывны и имеют плотности <math>f_X,f_Y</math>, то случайная величина <math>X+Y</math> также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

<math>f_{X+Y} = f_X * f_Y.</math>

См. также

• Обратная свертка (деконволюция)
• Взаимнокорреляционная функция
• Автокорреляционная функция
• Свёртка последовательностей

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
• Ширяев А. Н. Вероятность, — Шаблон:М: Наука. 1989.
• Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. — М., Наука, 1982. — Тираж 3500 экз. — 240 с.

Ссылки

• Java-Applet
• Java-Applet
• Шаблон:Cite web