Русская Википедия:Симплициальный комплекс
Симплициальный компле́кс[1], или симплициальное пространство, — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией, то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённым правилам.
Определения
Симплициальный комплекс
Симплициальный комплекс — топологическое пространство, представленное как объединение множеств, гомеоморфных симплексу и образующих триангуляцию этого пространства.
Геометрический комплекс
Это понятие является частным случаем предыдущего, когда рассматриваются симплексы в евклидовом пространстве.
Геометрический комплекс — множество симплексов в евклидовом пространстве таких, что:
- с любым из симплексов в это множество входят все его грани;
- любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо пересекаются только по целой грани какой-то размерности, причём только по одной грани;
- у любой точки <math>x</math> комплекса есть окрестность <math>U</math> такая, что если <math>U</math> пересекается с симплексом комплекса <math>\Delta</math>, то <math>x\in\Delta</math>.
Часто дополнительно требуют локальную конечность, то есть должно выполняться следующее условие:
- любая точка комплекса имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов.
Абстрактный комплекс
Шаблон:Iw — это множество <math>V</math> с выделенным набором его конечных подмножеств <math>S</math> таких, что если <math>X\in S</math> и <math>Y\subset X,</math> то <math>Y\in S</math>.
При этом элементы множества <math>V</math> называются вершинами комплекса, а элементы множества <math>S</math> называются его симплексами.
Связанные определения
- n-мерным остовом комплекса называется подкомплекс, образованный всеми его симплексами размерности не более n.
- Размерность симплициального комплекса определяется как максимальная размерность его симплексов.
Пусть K есть симплициальный комплекс, и пусть S — некоторый набор симплексов в K.
- Замыкание <math>S</math> (обозначается <math>\textrm{Cl} S</math>) есть наименьший подкомплекс в <math>K</math>, содержащий каждый симплекс из <math>S</math>. Замыкание <math>\bar S</math> может быть получено путём добавления к <math>S</math> всех граней всех симплексов из <math>S</math>.
-
Два симплекса и их замыкание.
- Звезда от <math>S</math> (обозначается <math>\textrm{St} S</math>) — объединение звёзд всех симплексов в <math>S</math>. Для одного симплекса <math>S</math> звезда <math>S</math> — это набор симплексов, имеющих <math>S</math> своей гранью. (Звезда - S, как правило, не является симплициальным комплексом).
-
Вершина и её звезда
-
Вершина и её линк
- Линк <math>S</math> (обозначается <math>\textrm{Lk} S</math>) может быть определён как
- <math>\textrm{Lk} S=\textrm{Cl}(\textrm{St} S)\backslash \textrm{St}(\textrm{Cl} S).</math>
- Это — подкомплекс, образованный всеми симплексами, входящими в симплексы большей размерности вместе с симплексом из <math>S,</math> но не имеющие граней из <math>S</math>.
См. также
Примечания
Литература
- Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3, стр.151. Том 4, стр.1168. (М.: Советская энциклопедия, 1985.)
- ↑ Шаблон:БСЭ2 ;
Русский орфографический словарь Российской академии наук / Отв. ред. В. В. Лопатин. — М., 2007.
