Русская Википедия:Симплициальный объём

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Симплициальный объём — топологический инвариант, определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплициальный объём многообразия <math>M</math> обычно обозначается <math>\|M\|</math>.

Определение

Пусть <math>M</math> — замкнутое многообразие, тогда

<math>\|M\|=\inf\sum_i|r_i|</math>,

где <math>r_i</math> — рациональные коэффициенты в представлении его фундаментального класса <math>[M]</math> через сумму сингулярных симплексов.

<math>[M]=\sum_i r_i\Delta_i.</math>

Свойства

• Теорема Громова: Симплициальный объём многообразия постоянной отрицательной кривизны равен отношению его объёма к объёму регулярного бесконечного симплекса в пространстве Лобачевского той же кривизны.
  • Более того, Симплициальный объём асферического (и даже рационально существенного) многообразия с гиперболической фундаментальной группой положителен.

• Для любых многообразий <math>M</math> и <math>N</math> той же размерности

  <math>\| M\#N\|= \| M\|+\|N\|</math>,

где <math>\#</math> обозначает связную сумму.

• Существуют положительные числа <math>a(m)</math> и <math>b(m)</math> такие, что если сумма размерностей <math>\dim M+\dim N\leqslant m</math>, то

  <math>a(m)\cdot\| M\|\cdot \|N\|\leqslant \| M\times N\|\leqslant b(m)\cdot\| M\|\cdot \|N\|</math>,

где <math>\times</math> обозначает прямое произведение.

• Для любого отображения <math>f\colon M\to N</math>

  <math>\|M\|\geqslant |\deg f|\cdot \|N\|,</math>

где <math>\deg f</math> обозначает степень отображения <math>f</math>. В частности:

• Если многообразие <math>M</math> допускает отображение <math>M\to M</math> степени <math>> 1</math>, то <math>\|M\|=0</math>.
• Для любого <math>n\geqslant 1</math> симплициальный объём <math>n</math>-мерной сферы равен <math>0</math>.

• Теорема Бессона — Куртуа — Гало. Следующее неравенство

  <math>n!\cdot\mathop{\rm vol} M> \|M\|</math>

выполняется для произвольного замкнутого <math>n</math>-меного риманова пространства <math>M</math> с кривизной Риччи не меньше <math>-\tfrac1{n-1}</math>.

Литература

• Шаблон:Книга