Русская Википедия:Сингулярные гомологии
Сингулярные гомологии — теория гомологий, в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами.
Построение
Пусть <math>X</math> — любое топологическое пространство.
Сингулярный симплекс размерности <math>k</math> — это пара <math>(\Delta^k , f)</math> где <math>\Delta^k</math> — это стандартный симплекс <math>\langle a_0,a_1,...~a_k\rangle</math>, а <math>f</math> — его непрерывное отображение в <math>X</math>; <math>f : \Delta^k\to X</math>.
Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:
- <math>c_k=\sum_i z_i(\Delta^k,f_i)</math> с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами <math>z_i</math>.
При этом для линейного отображения <math>s_\pi:\Delta^k\to\Delta^k</math>, определяемого перестановкой <math>\pi</math> точек <math>(a_0,a_1,...~a_k)</math>, полагают <math>(\Delta^k,f)=(-1)^\pi(\Delta^k,f\circ s_\pi)</math>.
Граничный оператор <math>\partial</math> определяется на сингулярном симплексе <math>(\Delta_k,f)</math> так:
- <math>\partial(\Delta_k,f)=\sum_i (-1)^i(\Delta_{k-1},f_i)</math>,
где <math>\Delta_{k-1}</math> стандартный <math>(k-1)</math>-мерный симплекс, а <math>f_i=f\circ\epsilon_i</math>, где <math>\epsilon_i</math> — это его отображение на <math>i</math>-ю грань стандартного симплекса <math>\Delta^k (\langle a_0,...~\hat{a_i},...~a_k\rangle)</math>.
Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что <math>\partial\partial=0</math>.
Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей <math>c_k</math>, что <math>\partial{c_k}=0</math>, и границ — цепей <math>c_k=\partial{c_{k+1}}</math> для некоторого <math>c_{k+1}</math>.
Факторгруппа группы циклов по группе границ <math>H_k=Z_k/B_k</math> называется группой сингулярных гомологий.
Пример
Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки <math>X=*</math>.
Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение <math>f^k:\Delta^k\to *</math>.
Граница симплекса <math>\partial_k(\Delta^k,f^k)=\sum(-1)^i(\Delta^{k-1},f^{k-1}_i)</math>, где все <math>f^{k-1}_i</math> равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим <math>f^{k-1}</math>).
Значит:
- <math>\partial(\Delta^k,f^k)=0</math>, если <math>k</math> нечетно (число членов в сумме четно, а знаки чередуются);
- <math>\partial(\Delta^k,f^k)=(\Delta^{k-1},f^{k-1})</math>, если <math>k\not=0</math> и четно;
- <math>\partial(\Delta^k,f^k)=0</math>, если <math>k=0</math>.
Отсюда получаем для нулевой размерности: <math>Z_0=C_0=\mathbb{Z};\quad B_0=0;\quad H_0=\mathbb{Z}.</math>
Для нечётной размерности <math>k=2n-1: Z_k=C_k=\mathbb{Z};\quad B_k=\mathbb{Z};\quad H_k=0.</math>
Для чётной размерности <math>k=2n\not=0: Z_k=0;\quad B_k=0;\quad H_k=0.</math>
То есть группа гомологий равна <math>\mathbb{Z}</math> для нулевой размерности и равна нулю для всех положительных размерностей.
Можно доказать, что на множестве полиэдров сингулярные гомологии совпадают с ранее определенными симплициальными.
История
Сингулярные гомологии были введены Лефшецом.
