Русская Википедия:Слэш-обозначения Фейнмана

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Слэш-обозначения Фейнмана (менее известное как слэш-обозначения Дирака) — удобное обозначение, придуманное Ричардом Фейнманом для полей Дирака в квантовой теории поля. Если A является ковариантным вектором (то есть 1-формой), то

<math>{A\!\!\!/} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \gamma^\mu A_\mu</math>

используя соглашение о суммировании Эйнштейна, где γ — гамма-матрицы .

Тождества

Используя антикоммутаторы гамма-матриц, можно показать, что для любого <math>a_\mu</math> и <math>b_\mu</math> ,

<math>\begin{align}

            {a\!\!\!/}{a\!\!\!/} &\equiv  a^\mu a_\mu \cdot I_4 = a^2 \cdot I_4 \\
{a\!\!\!/}{b\!\!\!/} + {b\!\!\!/}{a\!\!\!/} &\equiv 2 a \cdot b \cdot I_4\,

\end{align}</math> ,

где <math>I_4</math> — единичная матрица в четырех измерениях.

В частности,

<math>{\partial\!\!\!/}^2 \equiv \partial^2 \cdot I_4.</math>

Дальнейшие тождества могут быть получены непосредственно из тождеств гамма-матрицы путем замены метрического тензора на внутренние произведения. Например,

<math>\begin{align}

               \operatorname{tr}({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}) &\equiv 4 a \cdot b \\
     \operatorname{tr}({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}) &\equiv 4 \left[(a \cdot b)(c \cdot d) - (a \cdot c)(b \cdot d) + (a \cdot d)(b \cdot c) \right] \\
\operatorname{tr}(\gamma_5 {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}) &\equiv 4 i \epsilon_{\mu \nu \lambda \sigma} a^\mu b^\nu c^\lambda d^\sigma \\
                  \gamma_\mu {a\!\!\!/} \gamma^\mu &\equiv -2 {a\!\!\!/} \\
             \gamma_\mu {a\!\!\!/} {b\!\!\!/} \gamma^\mu &\equiv 4 a \cdot b \cdot I_4 \\
       \gamma_\mu {a\!\!\!/} {b\!\!\!/} {c\!\!\!/} \gamma^\mu &\equiv -2 {c\!\!\!/} {b\!\!\!/} {a\!\!\!/} \\

\end{align}</math>

где

<math>\epsilon_{\mu \nu \lambda \sigma} \,</math> — символ Леви-Чивиты.

С четырьмя импульсами

Часто используя уравнение Дирака и решая его для сечений, можно найти обозначение косой черты для четырёхимпульса. Используя базис Дирака для гамма-матриц,

<math>\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix},\quad \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix} \,</math>

и определение четырёхимпульса

<math> p_\mu = \left(E, -p_x, -p_y, -p_z \right) \,</math>

получим

<math>\begin{align}

{p\!\!/} &= \gamma^\mu p_\mu = \gamma^0 p_0 + \gamma^i p_i \\
     &= \begin{bmatrix} p_0 & 0 \\ 0 & -p_0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & \sigma^i p_i \\ -\sigma^i p_i & 0 \end{bmatrix} \\
     &= \begin{bmatrix} E & -\sigma \cdot \vec{p} \\ \sigma \cdot \vec{p} & -E \end{bmatrix}.

\end{align}</math>

Аналогичные результаты имеют место в других базисах, таких как базис Вейля.

См. также

• Основа вейля
• Гамма-матрицы