Русская Википедия:Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
Соверше́нная дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СДНФ) — одна из форм представления функции алгебры логики (булевой функции) в виде логического выражения. Представляет собой частный случай ДНФ, удовлетворяющий следующим трём условиям[1]:
- в ней нет одинаковых слагаемых (элементарных конъюнкций);
- в каждом слагаемом нет повторяющихся переменных;
- каждое слагаемое содержит все переменные, от которых зависит булева функция (каждая переменная может входить в слагаемое либо в прямой, либо в инверсной форме).
Любая булева формула, не являющаяся тождественно ложной, может быть приведена к СДНФ, причём единственным образом, то есть для любой выполнимой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная[2].
Краткая теория
ДНФ представляет собой «сумму произведений», причём в качестве операции «умножения» выступает операция И (конъюнкция), а в качестве операции «сложения» — операция ИЛИ (дизъюнкция). Сомножителями являются различные переменные, причём они могут входить в произведение как в прямом, так и в инверсном виде.
Ниже приведён пример ДНФ:
<math> F(A,B,C,D,E) = \bar{A}B + A\bar{B}E + B\bar{C}D.</math>
В составе ДНФ, вообще говоря, могут присутствовать повторяющиеся слагаемые, а в составе каждого слагаемого — повторяющиеся сомножители, например:
<math> F(A,B,C,D,E) = \bar{A}B\bar{B} + A\bar{B}EA + B\bar{C}D + B\bar{C}D.</math>
С математической точки зрения такое клонирование бессмысленно, так как в булевой алгебре умножение любого выражения на само себя и сложение выражения с самим собой не меняет результата (<math> x+x=x; x\cdot x=x</math>), а сложение выражения с собственной инверсией и умножение на собственную инверсию даёт константы (<math> x+\bar{x}=1; x\cdot \bar{x}=0</math>). В последнем выражении можно удалить повторяющиеся слагаемые и сомножители следующим образом:
<math> F(A,B,C,D,E) = \bar{A}B\bar{B} + A\bar{B}EA + B\bar{C}D + B\bar{C}D = \bar{A}\cdot(B\bar{B}) + (AA)\cdot\bar{B}E + B\bar{C}D = \bar{A}\cdot 0 + A\bar{B}E + B\bar{C}D = A\bar{B}E + B\bar{C}D. </math>
По этой причине ДНФ с повторяющимися слагаемыми и сомножителями используются обычно только со вспомогательными целями, например, при аналитическом преобразовании выражений.
СДНФ является канонической формой представления булевой функции в виде ДНФ, в которой повторы слагаемых и сомножителей запрещены. Кроме того, в каждом слагаемом должны присутствовать все переменные (в прямой или инверсной форме).
Ниже приведён пример СДНФ:
<math> F(A,B,C,D,E) = \bar{A}BCDE + A\bar{B}C\bar{D}E + AB\bar{C}D\bar{E}.</math>
Значение СДНФ состоит в том, что
- для каждой конкретной функции её СДНФ единственна и однозначна;
- СДНФ имеет однозначное соответствие с таблицей истинности функции. Каждое слагаемое СДНФ соответствует одной строке в таблице истинности, где функция равна единице. Таким образом, число слагаемых в СДНФ равно числу единичных значений, которые принимает булева функция в своей области определения;
- СДНФ элементарно получается из таблицы истинноcти функции;
- СДНФ удобна в качестве базового выражения для минимизации функции, в ней особенно просто находятся слагаемые, пригодные для «склейки».
Пример нахождения СДНФ
Для того, чтобы получить СДНФ функции, требуется составить её таблицу истинности. К примеру, возьмём одну из таблиц истинности:
| <math>x_1</math> | <math>x_2</math> | <math>x_3</math> | <math>f(x_1, x_2, x_3)</math> |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
В ячейках результата <math>f(x_1, x_2, x_3)</math> отмечаются лишь те комбинации, которые приводят логическое выражение в состояние единицы. Далее рассматриваются значения переменных, при которых функция равна 1. Если значение переменной равно 0, то она записывается с инверсией. Если значение переменной равно 1, то без инверсии.
Первая строка содержит 1 в указанном поле. Отмечаются значения всех трёх переменных, это:
- <math>x_1 = 0</math>
- <math>x_2 = 0</math>
- <math>x_3 = 0</math>
Нулевые значения — тут все переменные представлены нулями — записываются в конечном выражении инверсией этой переменной. Первый член СДНФ рассматриваемой функции выглядит так: <math>\overline{x_1} \cdot \overline{x_2} \cdot \overline{x_3}</math>
Переменные второго члена:
- <math>x_1 = 0</math>
- <math>x_2 = 0</math>
- <math>x_3 = 1</math>
<math>x_3</math> в этом случае будет представлен без инверсии: <math>\overline{x_1} \cdot \overline{x_2} \cdot x_3</math>
Таким образом анализируются все ячейки <math>f(x_1, x_2, x_3)</math>. Совершенная ДНФ этой функции будет дизъюнкцией всех полученных членов (элементарных конъюнкций).
Совершенная ДНФ этой функции:
<math>f(x_1, x_2, x_3) = (\overline{x_1} \land \overline{x_2} \land \overline{x_3}) \vee (\overline{x_1} \land \overline{x_2} \land x_3) \vee (\overline{x_1} \land x_2 \land \overline{x_3}) \vee (x_1 \land x_2 \land \overline{x_3})</math>
См. также
- Дизъюнктивная нормальная форма
- Конъюнктивная нормальная форма
- Совершенная конъюнктивная нормальная форма
Примечания
