Русская Википедия:Солитон
Шаблон:ЗначенияШаблон:Универсальная карточка
Солито́н — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде.
Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а продолжают движение, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех.
История изучения солитона началась в августе 1834 года на берегу канала Юнион вблизи Эдинбурга. Джон Скотт Рассел наблюдал на поверхности воды явление, которое он назвал уединённой волной — «solitary wave»[1][2][3].
Впервые понятие солитона было введено для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы[4].
Солитоны бывают различной природы:
- на поверхности жидкости[5] (первые солитоны, обнаруженные в природе[6]), иногда считают таковыми волны цунами и бор[7]
- ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме[8]
- гравитационные солитоны в слоистой жидкости[9]
- солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера[10]
- можно рассматривать в качестве солитонов нервные импульсы[11]
- солитоны в нелинейно-оптических материалах[12][13]
- солитоны в воздушной среде [14]
Математическая модель
Уравнение Кортевега — де Фриза
Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:
- <math>
u_t - 6 u u_x + u_{xxx} = 0 </math>
Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:
- <math>u(x,t) = - \frac{2\varkappa^2}{ \mathrm{ch}^2\,\varkappa(x-4\varkappa^2 t-\varphi) }</math>
где <math>2\varkappa^2</math> — амплитуда солитона, <math>\varphi</math> — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна <math>\varkappa^{-1}</math>. Такой солитон движется со скоростью <math>v = 4\varkappa^2</math>. Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее[15].
В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при <math>t\to \pm\infty</math> решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде
- <math>u(x,t) = -2 \frac{d^2}{dx^2} \ln \det A(x,t)</math>
где матрица <math>A(x,t)</math> даётся выражением
- <math>A_{nm} = \delta_{nm} + \frac{\beta_n}{\varkappa_n + \varkappa_m}\mathrm{e}^{8\varkappa_n^3 t -(\varkappa_n + \varkappa_m)x}</math>
Здесь <math>\beta_n, n=1,\dots,N</math> и <math>\varkappa_n>0, n=1,\dots,N</math> — произвольные вещественные постоянные.
Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера
- <math>-\partial^2_x\psi(x) + u(x)\psi(x) = E\psi(x)</math>
с потенциалом <math>u(x)</math>, убывающим на бесконечности быстрее чем <math>|x|^{-1-\varepsilon}</math>, коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени <math>t</math>.
Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при <math>t\to -\infty</math> решение имеет асимптотический вид <math>N</math> солитонов, тогда при <math>t\to +\infty</math> оно также имеет вид <math>N</math> солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы <math>k</math>-го солитона равен
- <math>\Delta\varphi_k = \sum_{\stackrel{n=1}{n\ne k}}^{N} \Delta\varphi_{nk}</math>
Пусть <math>n</math>-й солитон движется быстрее, чем <math>m</math>-й, тогда
- <math>\Delta\varphi^{+}_{n} = \Delta\varphi_{kn} = \frac{1}{\varkappa_n}\ln\left| \frac{\varkappa_n+\varkappa_m}{\varkappa_n-\varkappa_m} \right|</math>
- <math>\Delta\varphi^{-}_{k} = \Delta\varphi_{nk} = - \frac{1}{\varkappa_m}\ln\left| \frac{\varkappa_n+\varkappa_m}{\varkappa_n-\varkappa_m} \right|</math>
то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину <math>\Delta\varphi^{+}_{n}</math>, а фаза более медленного — уменьшается на <math>\Delta\varphi^{-}_{k}</math>, причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.
Нелинейное уравнение Шрёдингера
Для нелинейного уравнения Шрёдингера:
- <math>i u_t + u_{xx} + \nu \vert u \vert^2 u = 0</math>
при значении параметра <math>\nu > 0 </math> допустимы уединённые волны в виде:
- <math>u \left( x,t \right) = \left( \sqrt{\frac{2 \alpha}{\nu} } \right) \mathrm{ch}^{-1} \left( \sqrt{\alpha}(x - Ut) \right) e^{i(r x-st)},</math>
где <math>r, s,\alpha,U</math> — некоторые постоянные, связанные соотношениями:
- <math>U=2r</math>
- <math>s=r^2-\alpha</math>
Дромион — решение уравнения Дэви-Стюартсона[16].
См. также
- Модель Френкеля — Конторовой
- Ионно-звуковые солитоны
- Волновой пакет
- Кинк
- Уравнение синус-Гордона
- Уравнения Дэви — Стюартсона
- Уравнение Кадомцева — Петвиашвили
- Уравнение Габитова — Турицына
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
Ссылки
- ↑ J.S.Russell «Report on Waves»: (Report of the fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science, York, September 1844 (London 1845), pp 311—390, Plates XLVII-LVII)
- ↑ J.S.Russell (1838), Report of the committee on waves, Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, pp.417-496.
- ↑ Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987, с.12.
- ↑ N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240—243.Оригинал статьи
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Из
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Сазонов С. В. Оптические солитоны в средах из двухуровневых атомов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. Т. 5. № 87. С. 1—22.
- ↑ Шаблон:Cite web
