Русская Википедия:Список групп сферической симметрии

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Навигатор точечных групп в 3d Группы сферической симметрии также называются точечными группами в трёхмерном пространстве, однако эта статья рассматривает только конечные симметрии. Существует пять фундаментальных классов симметрии, которыми обладают треугольные фундаментальные области: диэдрическая, циклическая, тетраэдральная симметрия, Шаблон:Не переведено 5 и икосаэдральная симметрия.

Статья перечисляет группы согласно символам Шёнфлиса, Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Sfn, Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Sfn и порядка. Конвей использовал вариант записи Шёнфлиса, основанном на алгебраической структуре группы кватернионов, с обозначениями одной или двумя заглавными буквами и полным набором нижних числовых индексов. Порядок группы обозначается индексом, если только он не удваивается символом плюс-минус ("±"), который подразумевает центральную симметрию Шаблон:Sfn.

Символика Германа — Могена (интернациональная запись) приводится также. Группы кристаллографии, 32 в общем числе, являются подмножеством с элементами порядка 2, 3, 4 и 6 Шаблон:Sfn.

Симметрии-инволюции

Имеется четыре симметрии, которые являются обратными себе, т.е. инволюциями: тождественное преобразование (C₁), зеркальная симметрия (C_s), вращательная симметрия (C₂), и центральная симметрия (C_i).

Инт. Геом. Шаблон:Sfn Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд. область 1 Шаблон:Overline 11 C1 C1 ][ [ ]+ 1 Файл:Sphere symmetry group c1.png 2 Шаблон:Overline 22 D1 = C2 D2 = C2 [2]+ 2 Файл:Sphere symmetry group c2.png

Инт. Геом. Ориб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд. область Шаблон:Overline Шаблон:Overline × Ci = S2 CC2 [2+,2+] 2 Файл:Sphere symmetry group ci.png Шаблон:Overline = m 1 * Cs = C1v = C1h ±C1 = CD2 [ ] 2 Файл:Sphere symmetry group cs.png

Циклическая симметрия

Существуют четыре бесконечных семейства Шаблон:Не переведено 5 с n=2 и выше. (n может быть равен 1 как особый случай нет симметрии)

Инт. Гео Орб. Шёнф. Конвей. Кокс. Пор. Фунд. область 2 Шаблон:Overline 22 C2 = D1 C2 = D2 [2]+ [2,1]+ 2 Файл:Sphere symmetry group c2.png mm2 2 *22 C2v = D1h CD4 = DD4 [2] [2,1] 4 Файл:Sphere symmetry group c2v.png Шаблон:Overline Шаблон:Overline 2× S4 CC4 [2+,4+] 4 Файл:Sphere symmetry group s4.png 2/m Шаблон:Overline2 2* C2h = D1d ±C2 = ±D2 [2,2+] [2+,2] 4 Файл:Sphere symmetry group c2h.png

Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд. область 3 4 5 6 n Шаблон:Overline Шаблон:Overline Шаблон:Overline Шаблон:Overline Шаблон:Overline 33 44 55 66 nn C3 C4 C5 C6 Cn C3 C4 C5 C6 Cn [3]+ [4]+ [5]+ [6]+ [n]+ 3 4 5 6 n Файл:Sphere symmetry group c3.png 3m 4mm 5m 6mm - 3 4 5 6 n *33 *44 *55 *66 *nn C3v C4v C5v C6v Cnv CD6 CD8 CD10 CD12 CD2n [3] [4] [5] [6] [n] 6 8 10 12 2n Файл:Sphere symmetry group c3v.png Шаблон:Overline Шаблон:Overline Шаблон:Overline Шаблон:Overline - Шаблон:Overline Шаблон:Overline Шаблон:Overline Шаблон:Overline Шаблон:Overline 3× 4× 5× 6× n× S6 S8 S10 S12 S2n ±C3 CC8 ±C5 CC12 CC2n / ±Cn [2+,6+] [2+,8+] [2+,10+] [2+,12+] [2+,2n+] 6 8 10 12 2n Файл:Sphere symmetry group s6.png 3/m=Шаблон:Overline 4/m 5/m=Шаблон:Overline 6/m n/m Шаблон:Overline2 Шаблон:Overline2 Шаблон:Overline2 Шаблон:Overline2 Шаблон:Overline2 3* 4* 5* 6* n* C3h C4h C5h C6h Cnh CC6 ±C4 CC10 ±C6 ±Cn / CC2n [2,3+] [2,4+] [2,5+] [2,6+] [2,n+] 6 8 10 12 2n Файл:Sphere symmetry group c3h.png

Диэдральная симметрия

Существует три бесконечных семейства с Шаблон:Не переведено 5 с n равным 2 и выше. (n может быть равен 1 как специальный случай)

Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд. область 222 Шаблон:Overline.Шаблон:Overline 222 D2 D4 [2,2]+ 4 Файл:Sphere symmetry group d2.png Шаблон:Overline2m 4Шаблон:Overline 2*2 D2d DD8 [2+,4] 8 Файл:Sphere symmetry group d2d.png mmm 22 *222 D2h ±D4 [2,2] 8 Файл:Sphere symmetry group d2h.png

Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд. область 32 422 52 622 Шаблон:Overline.Шаблон:Overline Шаблон:Overline.Шаблон:Overline Шаблон:Overline.Шаблон:Overline Шаблон:Overline.Шаблон:Overline Шаблон:Overline.Шаблон:Overline 223 224 225 226 22n D3 D4 D5 D6 Dn D6 D8 D10 D12 D2n [2,3]+ [2,4]+ [2,5]+ [2,6]+ [2,n]+ 6 8 10 12 2n Файл:Sphere symmetry group d3.png Шаблон:Overlinem Шаблон:Overline2m Шаблон:Overlinem Шаблон:Overline.2m 6Шаблон:Overline 8Шаблон:Overline 10.Шаблон:Overline 12.Шаблон:Overline nШаблон:Overline 2*3 2*4 2*5 2*6 2*n D3d D4d D5d D6d Dnd ±D6 DD16 ±D10 DD24 DD4n / ±D2n [2+,6] [2+,8] [2+,10] [2+,12] [2+,2n] 12 16 20 24 4n Файл:Sphere symmetry group d3d.png Шаблон:Overlinem2 4/mmm Шаблон:Overlinem2 6/mmm 32 42 52 62 n2 *223 *224 *225 *226 *22n D3h D4h D5h D6h Dnh DD12 ±D8 DD20 ±D12 ±D2n / DD4n [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n] 12 16 20 24 4n Файл:Sphere symmetry group d3h.png

Симметрии многогранников

Шаблон:See Существует три типа Шаблон:Не переведено 5: тетраэдральная симметрия, Шаблон:Не переведено 5 и икосаэдральная симметрия, названные по правильным многогранникам с треугольными гранями, которые обладают такими симметриями.

Тетраэдральная симметрия Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд. область 23 Шаблон:Overline.Шаблон:Overline 332 T T [3,3]+ = [4,3+]+ 12 Файл:Sphere symmetry group t.png mШаблон:Overline 4Шаблон:Overline 3*2 Th ±T [4,3+] 24 Файл:Sphere symmetry group th.png Шаблон:Overline3m 33 *332 Td TO [3,3] = [1+,4,3] 24 Файл:Sphere symmetry group td.png

Шаблон:Не переведено 5 Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд. область 432 Шаблон:Overline.Шаблон:Overline 432 O O [4,3]+ = [[3,3]]+ 24 Файл:Sphere symmetry group o.png mШаблон:Overlinem 43 *432 Oh ±O [4,3] = [[3,3]] 48 Файл:Sphere symmetry group oh.png Икосаэдральная симметрия Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд. область 532 Шаблон:Overline.Шаблон:Overline 532 I I [5,3]+ 60 Файл:Sphere symmetry group i.png Шаблон:Overline2/m 53 *532 Ih ±I [5,3] 120 Файл:Sphere symmetry group ih.png

См. также

• Кристаллографическая точечная группа симметрии
• Группа треугольника
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I
• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья

Внешние ссылки

• Finite spherical symmetry groups
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Simplest Canonical Polyhedra of Each Symmetry Type, by David I. McCooey