Русская Википедия:Среднее арифметико-геометрическое
Шаблон:Значения Среднее арифметико-геометрическое (арифметико-геометрическое среднее, АГС) — величина, определяющаяся для двух величин <math>a</math> и <math>b</math> как предел последовательности <math>\{a_N\}</math>, <math>\{b_N\}</math>, где:
- <math>a_0=a \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad b_0=b</math>
- <math>a_1=\frac{a_0+b_0}{2} \quad \quad \quad \quad b_1=\sqrt{a_0b_0}</math>
- <math>a_2=\frac{a_1+b_1}{2} \quad \quad \quad \quad b_2=\sqrt{a_1b_1}</math>
- …
- <math>a_N=\frac{a_{N-1}+b_{N-1}}{2}\quad \quad b_N=\sqrt{a_{N-1}b_{N-1}}</math>
имеют при <math>N\to +\infty</math> один и тот же предел:[1][2]
- <math>\lim_{N\to\infty}a_N = \lim_{N\to\infty}b_N = M(a,b)</math>.
АГС может быть применено для быстрого вычисления точного периода математического маятника.[3]
Часто используется сокращение <math>M(x)=M(x, 1)</math>. В частности <math>M(x,y) = y M(x/y,1) = y M(x/y)</math>.
Модифицированное арифметико-геометрическое среднее (МАГС) двух величин <math>x</math> и <math>y</math> — (общий) предел (убывающей) последовательности <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> и (возрастающей) последовательности <math>\{y_n\}_{n=1}^\infty</math>, где <math>x_0 = x</math>, <math>y_0 = y</math> и <math>z_0 = 0</math>.
- <math>x_{n+1} = \frac{x_n+y_n}{2}</math>
- <math>y_{n+1} = z_n+\sqrt{(x_n-z_n)(y_n-z_n)}</math>
- <math>z_{n+1} = z_n-\sqrt{(x_n-z_n)(y_n-z_n)}</math>
МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.
МАГС выразимо посредством АГСШаблон:Как, такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра эллипса <math>L</math> с полуосями <math>a</math> и <math>b</math>:
- <math>L = \frac{2 \pi N(a^2;b^2)}{M(a;b)},</math>
где <math>M(x;y)</math> — АГС чисел <math>x</math> и <math>y</math>, а <math>N(x;y)</math> — МАГС чисел <math>x</math> и <math>y</math>. Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с квадратичной сходимостью, для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода.[3]
Приложения
С использованием АГС и МАГС можно вычислять значения некоторых трансцендентных функций и числа <math>\pi</math>. Например, по формуле Гаусса — Саламина[4]:
- <math>\pi = \frac{2 M \left(1;\sqrt{2}\right)^2}{1-\sum_{j=1}^{\infty}2^j c_j^2},</math>
где <math>c_j = \frac 12\left(a_{j-1}-b_{j-1}\right)</math>, <math>a_0 = 1</math>, <math>b_0 = \sqrt{2}</math>.
В то же время, если взять:
- <math>a_0 = 1, \quad \quad \quad b_0 = \cos\alpha</math>,
то
- <math>\lim_{N\to\infty}a_N = \frac{\pi}{2K(\sin\alpha)}</math>,
где <math>K(\alpha)</math> есть полный эллиптический интеграл
- <math>K(\alpha) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1 - \alpha^2\sin^2\theta)^{-\frac 12}d\theta</math>.
То есть <math>\pi</math> выражается формулой:
- <math>\pi = \frac{M(\sqrt{2})^2}{N(2) - 1}</math>,
где <math>M(x)</math> — АГС 1 и <math>x</math>, а <math>N(x)</math> — МАГС 1 и <math>x</math>[3].
Пользуясь этим свойством, а также преобразованиями Ландена[5], Брент предложил[6] первые АГС-алгоритмы для быстрого вычисления простейших трансцендентных функций (<math>e^x, \cos x, \sin x</math>). В дальнейшем исследование и использование АГС-алгоритмов было продолжено многими авторами[7]
Примечания
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья |язык=en |тип=journal |автор=B. C. Carlson |год=1972}}
- ↑ 3,0 3,1 3,2 Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Cite doi
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Книга
