Русская Википедия:Среднее степенное
Среднее степени d (или просто среднее степенное) — разновидность среднего значения. Для набора положительных вещественных чисел <math>x_1, \ldots, x_n</math> определяется как
- <math>A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[d]{\frac{\sum\limits_{i=1}^n x^d_i}n}.</math>
При этом по принципу непрерывности относительно показателя d доопределяются следующие величины:
- <math>A_0(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to 0} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt [n]{\prod_{i=1}^n x_i};</math>
- <math>A_{+\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to +\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \max\{ x_1, \ldots, x_n \};</math>
- <math>A_{-\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to -\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \min\{ x_1, \ldots, x_n \}.</math>
Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.
Наряду с понятием «среднее степенное», используют также среднее степенное взвешенное некоторых величин.
Другие названия
Так как среднее степени d обобщает известные с древности (т. н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.
По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.
Частные случаи
Средние степеней 0, ±1, 2 и <math>\pm\infty</math> имеют собственные имена:
- <math>A_1(x_1, \ldots, x_n) = m =\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}</math> называется средним арифметическим;
(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, делённая на n)
- <math>A_0(x_1, \ldots, x_n) = g =\sqrt [n]{x_1 x_2\cdots x_n}</math> называется средним геометрическим;
(иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n-ой степени из произведения этих чисел)
- <math>A_{-1}(x_1, \ldots, x_n) = h = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}</math> называется средним гармоническим.
(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)
- <math>A_{2}(x_1, \ldots, x_n) = s =\sqrt{\frac{x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_n}{n}}</math> называется средним квадратичным (квадратическим), известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).
- В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространёнными из них являются среднее кубическое и среднее биквадратическое значения.
- Максимальное и минимальное число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней <math>+\infty</math> и <math>-\infty</math> этих чисел:
- <math>\operatorname{max} \{x_1,\ldots, x_n\} = A_{+\infty} (x_1, \ldots, x_n);</math>
- <math>\operatorname{min} \{x_1,\ldots, x_n\} = A_{-\infty} (x_1, \ldots, x_n).</math>
Неравенство о средних
Неравенство о средних утверждает, что для любых <math>d_1 > d_2</math>
причём равенство достигается только в случае равенства всех аргументов <math>x_1 = \ldots = x_n</math>.
Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная <math>A_d(x_1, \ldots, x_n)</math> по <math>d</math> неотрицательна и обращается в ноль только при <math>x_1 = \ldots = x_n</math> (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.
Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом
Шаблон:Main Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом
где каждое из неравенств обращается в равенство только при <math>x_1 = \ldots = x_n</math>.
См. также
Ссылки