Русская Википедия:Стационарное распределение
Стациона́рное распределе́ние цепи Маркова — это такое распределение вероятности, которое не меняется с течением времени.
Определение
Пусть <math>\{X_n\}_{n \ge 0}</math> — однородная цепь Маркова с дискретным временем, счётным пространством состояний <math>\{1,2,\ldots\}</math>, и матрицей переходных вероятностей <math>P = (p_{ij}),\; i,j=1,2,\ldots</math>. Тогда дискретное распределение <math>\mathbf{q} = (q_1, q_2, \ldots )</math> называется стациона́рным (инвариа́нтным), если
- <math> \mathbf{q} P = \mathbf{q}</math>.
Замечание
Если <math>\mathbf{q}</math> — начальное распределение цепи <math>\{X_n\}</math>, то есть
- <math>\mathbb{P}(X_0 = i) = q_i,\quad i \in \mathbb{N}</math>,
то и распределение всех остальных членов <math>X_n, n \ge 1</math> также совпадает с <math>\mathbf{q}</math>.
Основная теорема о стационарных распределениях
Пусть <math>\{X_n\}_{n \ge 0}</math> — цепь Маркова с дискретным пространством состояний. Тогда у этой цепи существует единственное стационарное распределение тогда и только тогда, когда в множестве ее состояний найдется ровно один положительно возвратный класс.
Литература
См. также
