Русская Википедия:Сумма Минковского
Материал из Онлайн справочника
Суммой Минковского двух подмножеств A и B линейного пространства V (или произвольной группы) называется множество C, состоящее из сумм всевозможных векторов из A и B:
- <math>C = \left\{\,c \mid c=a+b, a\in A, b\in B\,\right\}</math>
Аналогично определяется произведение множества на число:
- <math>\lambda A = \left\{\,\lambda a \mid a\in A\,\right\}</math>
Свойства
- Если множество A выпукло, то
- <math>(\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A</math>
- для любых <math>\lambda >0 </math> и <math>\mu >0</math>.
- <math>\lambda (A+B)= \lambda A + \lambda B</math>
- <math>A + B = B + A</math>
- <math>A + \left\{0\right\} = A</math>
О разности Минковского
Множества с введенной на них суммой Минковского не образуют линейного пространства (даже выпуклые). Это связано с отсутствием обратного элемента (элемент -A, очевидно, таковым не является).
- Разностью Минковского множеств A и B называется максимальное множество C такое, что
- <math>C + B \subset A</math>,
- но легко видеть, что для многих множеств (например, квадрата и круга) разность Минковского не является операцией, обратной к сумме.
- Альтернативно можно продолжить сумму Минковского на линейное пространство пар выпуклых множеств (A,B) с отношением эквивалентности
- <math>(A, B) \sim (C, D) \Leftrightarrow A + D = B + C</math>
Разность Минковского также называют геометрической разностью множеств.
Вариации и обобщения
- Множество сумм — аналогичное определение для подмножеств групп в аддитивной и арифметической комбинаторике. Наравне с суммами рассматривается произведения множеств <math>A \times B = \left\lbrace{ab : a \in A, b \in B}\right\rbrace</math> и другие операции.
Литература
- Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
