Русская Википедия:Суммы Вейля

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Суммы Вейля — общее название тригонометрических сумм специального вида.

Определение

Суммами Вейля называются суммы вида

<math>\displaystyle\sum_{a<n\leqslant b}e^{2\pi i f(n)}</math>,

где <math>n\in\mathbb{Z}</math>, а функция

<math>f(x) = \alpha_k x^k + \alpha_{k-1}x^{k-1} + \ldots + \alpha_1 x + \alpha_0\in \mathbb{R}[x]</math>

есть многочлен степени <math>k</math> с вещественными коэффициентами. Название "суммы Вейля" для тригонометрических сумм такого вида было предложено И.М. Виноградовым в честь впервые подробно рассмотревших их Г. Вейля.

Рациональные суммы Вейля

Важным примером сумм Вейля являются рациональные суммы Вейля, когда все коэффициенты многочлена <math>f(x)</math> — рациональные числа. Более точно, рациональными суммами Вейля (по модулю <math>m</math>) называются суммы Вейля с функцией <math>f(x)=\frac{P_k(x)}{m}</math>:

<math>\displaystyle\sum_{a<n\leqslant b}e^{2\pi i\frac{P_k(n)}{m}}</math>,

где <math>m>1</math> — некоторое фиксированное целое число, <math>n\in\mathbb{Z}</math>, а

<math>P_k(x) = a_k x^k + a_{k-1}x^{k-1} + \ldots + a_1 x + a_0\in \mathbb{Z}[x]</math>

есть многочлен степени <math>k</math> с целыми коэффициентами.

Примеры рациональных сумм Вейля

• Если <math>f(x)=ax</math>, то указанная сумма является линейной тригонометрической суммой.
• Если <math>m=p</math> — простое число, то суммы Вейля с многочленом <math>f(x)=ax^k</math> <math>(k>1)</math> называются суммами Гаусса порядка <math>k</math>, а при <math>k=2</math> — суммами Гаусса.
• Если <math>m=p</math> — простое число, то для каждого <math>n</math>, не кратного <math>p</math>, в поле вычетов <math>\mathbb{Z}_p</math> всегда существует число <math>n^*</math>, обратное к <math>n</math>:

<math>n^*n\equiv 1 \mod p</math>, и при этом <math>n^*\equiv n^{p-2} \mod p</math>.

Таким образом, рациональные суммы Вейля с многочленом <math>P_{p-1}(n) = an^{p-1}+bn</math> могут быть записаны в виде

<math>\displaystyle{\sum_{a<n\leqslant b}}'e^{2\pi i\frac{an^*+bn}{p}}</math>,

(штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по всем <math>n</math>, не кратным <math>p</math>) и называются суммами Клостермана.

Оценки сумм Вейля

Оценки сумм Вейля играют важную роль в многих задачах аналитической теории чисел. Существует несколько методов оценки сумм Вейля. Наиболее простой и известный из них — метод Гаусса.

См. также

• Теорема Вейля о равномерном распределении

Литература

• Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
• И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.