Русская Википедия:Сферичность
Сфери́чность — количественная мера того, насколько сферическим (круглым) является объект.
Определённая Х. Уоделлом (H. Wadell) в 1935 году[1] сферичность <math>\Psi </math> частицы представляет собой отношение площади поверхности сферы (того же объёма, что и данная частица) к площади поверхности частицы:
- <math>\Psi = \frac{\pi^{\frac{1}{3}}(6V_p)^{\frac{2}{3}}}{A_p},
</math> где <math>V_p</math> равно объёму частицы и <math>A_p</math> равно площади поверхности частицы. Сферичность сферы равна единице по определению, а вследствие изопериметрического неравенства сферичность любого другого тела меньше единицы.
Вывод формулы
Хакон Уоделл определил сферичность как отношение площади поверхности сферы равного с данной частицей объёма к площади поверхности данной частицы. Рассмотрим сначала сферическую частицу, у которой площадь поверхности <math>A_s</math>, а её объём <math>V_p</math> равен объёму исследуемой частицы.
Выразим площадь поверхности этой частицы <math>A_s</math> через её объём <math>V_p</math>:
- <math>A_{s}^3 = \left(4 \pi r^2\right)^3 = 4^3 \pi^3 r^6 = 4 \pi \left(4^2 \pi^2 r^6\right) = 4 \pi \cdot 3^2 \left(\frac{4^2 \pi^2}{3^2} r^6\right) = 36 \pi \left(\frac{4 \pi}{3} r^3\right)^2 = 36\,\pi V_{p}^2.
</math> Следовательно,
- <math>A_{s} = \left(36\,\pi V_{p}^2\right)^{\frac{1}{3}} = 36^{\frac{1}{3}} \pi^{\frac{1}{3}} V_{p}^{\frac{2}{3}} = 6^{\frac{2}{3}} \pi^{\frac{1}{3}} V_{p}^{\frac{2}{3}} = \pi^{\frac{1}{3}} \left(6V_{p}\right)^{\frac{2}{3}}.
</math> Тогда выражение сферичности <math>\Psi</math> для произвольной частицы, имеющей площадь поверхности <math>A_p</math> и объём <math>V_p</math>, приобретает вид
- <math>
\Psi = \frac{A_s}{A_p} = \frac{ \pi^{\frac{1}{3}} \left(6V_{p}\right)^{\frac{2}{3}} }{A_{p}}. </math>
Примеры
Эллипсоидальные объекты
Сферичность <math>\Psi </math> сплюснутого сфероида равна
- <math>\Psi =
\frac{\pi^{\frac{1}{3}}(6V_p)^{\frac{2}{3}}}{A_p} = \frac{2\sqrt[3]{ab^2}}{a+\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\ln{\left(\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}b\right)}}, </math> где a и b равны большой и малой полуосям сфероида.
Сферичность некоторых объектов
| Название | Рисунок | Объём | Площадь поверхности | Сферичность |
|---|---|---|---|---|
| Платоновы тела | ||||
| Тетраэдр | Tetrahedron | <math>\frac{\sqrt{2}}{12}\,s^3</math> | <math>\sqrt{3}\,s^2</math> | <math>\left(\frac{\pi}{6\sqrt{3}}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.671</math> |
| Куб (гексаэдр) | Hexahedron (cube) | <math>\,s^3</math> | <math>6\,s^2</math> |
<math>\left( \frac{\pi}{6} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.806</math> |
| Октаэдр | Octahedron | <math> \frac{1}{3} \sqrt{2}\, s^3</math> | <math> 2 \sqrt{3}\, s^2</math> |
<math>\left( \frac{\pi}{3\sqrt{3}} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.846 </math> |
| Додекаэдр | Dodecahedron | <math> \frac{1}{4} \left(15 + 7\sqrt{5}\right)\, s^3</math> | <math> 3 \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}\, s^2</math> |
<math>\left( \frac{\left(15 + 7\sqrt{5}\right)^2 \pi}{12\left(25+10\sqrt{5}\right)^{\frac{3}{2}}} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.910</math> |
| Икосаэдр | Icosahedron | <math>\frac{5}{12}\left(3+\sqrt{5}\right)\, s^3</math> | <math>5\sqrt{3}\,s^2</math> | <math>\left(
\frac{ \left(3 + \sqrt{5} \right)^2 \pi}{60\sqrt{3}} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.939</math> |
| Тела с осевой симметрией | ||||
| Конус <math>(h=2\sqrt{2}r)</math> |
Файл:Blender-mesh-cone.png | <math>\frac{1}{3} \pi\, r^2 h </math> <math>= \frac{2\sqrt{2}}{3} \pi\, r^3</math> |
<math>\pi\, r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) </math> <math>= 4 \pi\, r^2 </math> |
<math>\left(
\frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.794</math> |
| Полусфера | Файл:Sphere symmetry group cs.png | <math>\frac{2}{3} \pi\, r^3</math> | <math>3 \pi\, r^2</math> |
<math>\left( \frac{16}{27} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.840</math> |
| Цилиндр <math>(h=2\,r)</math> |
Файл:Circular cylinder rh.svg | <math>\pi r^2 h = 2 \pi\,r^3</math> | <math>2 \pi r ( r + h ) = 6 \pi\,r^2</math> |
<math>\left( \frac{2}{3} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.874</math> |
| Тор <math>(R=r)</math> |
Файл:Torus.png | <math>2 \pi^2 R r^2 = 2 \pi^2 \,r^3</math> | <math>4 \pi^2 R r = 4 \pi^2\,r^2</math> |
<math>\left( \frac{9}{4 \pi} \right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.894</math> |
| Сфера | Файл:Sphere wireframe 10deg 6r.svg | <math>\frac{4}{3} \pi r^3</math> | <math>4 \pi\,r^2</math> |
<math> 1\,</math> |
См. также
Примечания
