Русская Википедия:Сферы Берже
Сферы Берже — однопараметрическое семейство римановых многообразий диффеоморфных трёхмерной сфере, которое часто используется как пример в различных вопросах римановой геометрии. Названы в честь Марселя Берже.
Все сферы Берже могут быть получены сжатием стандартной метрики на трёхмерной сфере вдоль слоёв расслоения Хопфа.
Построение
Рассмотрим <math>\mathbb S^3</math> как сферу в комплексном пространстве <math>\mathbb C^2</math>. На ней действует <math>\mathbb S^1\subset \mathbb C</math> комплексными умножениями. Таким образом на <math>\R\times \mathbb S^3</math> можно построить изометрическое действие <math>\R\times \mathbb S^1</math> с помощью комплексных поворотов <math>\mathbb S^3</math> и сдвигов по <math>\R</math>. В <math>\R\times \mathbb S^1</math> есть однопараметрическое семейство подгрупп <math>\R_\alpha</math> изоморфных <math>\R</math>, с элементами типа <math>(t,e^{\alpha t})\in \R\times \mathbb S^1</math>. Фактор <math>\R\times \mathbb S^3</math> по действию <math>\R_\alpha</math> диффеоморфен <math>\mathbb S^3</math>, но индуцированная риманова метрика <math>g_\alpha</math> на нём отличается от стандартной. Полученное риманово многообразие <math>(\mathbb S^3, g_\alpha)</math> называется сферой Берже.
Свойства
- Из формулы О’Нэйла, секционная кривизна <math>g_\alpha</math> положительна.
- При <math>\alpha\to\infty</math> пространства <math>(\mathbb S^3, g_\alpha)</math> коллапсируют к <math>\mathbb S^2_{1/2}</math>, стандартной 2-сфере радиуса <math>1/2</math>.
- При <math>\alpha\to\infty</math>, тензор кривизны <math>(\mathbb S^3, g_\alpha)</math> сходится к тензору кривизны пространства <math>\R\times \mathbb \mathbb S^2_{1/2}</math>.
- Сферы Берже являются частным случаем левоинвариантных метрик на <math>\mathbb S^3=Spin_4</math>.
- Круговые сферы в комплексной проективной плоскости <math>\mathbb C P^2</math> с метрикой Фубини — Штуди с точностью до коэффициента являются сферами Берже.
- На сферах Берже, окружности в расслоении Хопфа образуют двупараметрическое семейство замкнутых геодезических, которые при достаточно больших <math>\alpha</math> являются стабильными, (то есть нельзя добиться уменьшения их длины небольшими шевелениями).
