Русская Википедия:Таблица математических символов

Материал из Онлайн справочника
Версия от 03:33, 19 сентября 2023; EducationBot (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Русская Википедия/Панель перехода}} {{Глоссарий|nocat=1}} В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся Математические обозначения|математических об...»)
(разн.) ← Предыдущая версия | Текущая версия (разн.) | Следующая версия → (разн.)
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Глоссарий

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования. Список и смысл обозначений соответствует международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2[1].

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, <math>A \subset B</math> обозначает то же, что и <math>B \supset A.</math>

Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

К самым распространённым относятся:

Математическая логика

Символ TeX
(Команда TeX) 		Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
<math>\Rightarrow</math>
(\Rightarrow)
<math>\rightarrow</math>
(\rightarrow)
<math>\subset</math>
(\subset) 		⇒

→

⊂ 		Импликация, следование <math>A \Rightarrow B</math> означает «если <math>A</math> верно, то <math>B</math> также верно».
(→ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения функции, см. ниже.)
(⊂ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения надмножества, см. ниже.). 		<math>x = 2 \Rightarrow x^2 = 4</math> верно, но <math>x^2 = 4 \Rightarrow x = 2</math> неверно (так как <math>x=-2</math> также является решением).
«влечёт» или «если…, то» или «отсюда следует»
<math>\Leftrightarrow</math>
(\Leftrightarrow) 		⇔ Равносильность <math>A \Leftrightarrow B</math> означает «<math>A</math> верно тогда и только тогда, когда <math>B</math> верно». <math>x + 5 = y + 2 \Leftrightarrow x + 3 = y</math>
«если и только если» или «равносильно»
<math>\wedge</math>
(\wedge) 		∧ Конъюнкция <math>A \wedge B</math> истинно тогда и только тогда, когда <math>A</math> и <math>B</math> оба истинны. <math>(n>2)\wedge (n<4)\Leftrightarrow (n=3)</math>, если <math>n</math> — натуральное число.
«и»
<math>\vee</math>
(\vee) 		∨ Дизъюнкция <math>A\vee B</math> истинно, когда хотя бы одно из условий <math>A</math> и <math>B</math> истинно. <math>(n\leqslant 2)\vee (n\geqslant 4)\Leftrightarrow n\ne 3</math>, если <math>n</math> — натуральное число.
«или»
<math>\neg</math>
(\neg) 		¬ Отрицание <math>\neg A</math> истинно тогда и только тогда, когда ложно <math>A</math>. <math>\neg (A\wedge B)\Leftrightarrow (\neg A)\vee (\neg B)</math>
<math>x\notin S\Leftrightarrow \neg(x\in S)</math>
«не»
<math>\forall</math>
(\forall) 		∀ Квантор всеобщности <math>\forall x, P\left( x \right)</math> обозначает «<math>P\left( x \right)</math> верно для всех <math>x</math>». <math>\forall n\in \mathbb N,\;n^2\geqslant n</math>
«Для любых», «Для всех», «Для всякого»
<math>\exists</math>
(\exists) 		∃ Квантор существования <math>\exists x,\;P\left( x \right)</math> означает «существует хотя бы один <math>x</math> такой, что верно <math>P\left( x \right)</math>» <math>\exists n\in \mathbb N,\;n+5=2n</math> (подходит число 5)
«существует»
<math>=</math> = Равенство <math>x=y</math> обозначает «<math>x</math> и <math>y</math> принимают одно и то же значение». 1 + 2 = 6 − 3
«равно»
<math>:=</math>

<math>:\Leftrightarrow</math>
(:\Leftrightarrow)
<math>\stackrel{\rm{def}}{=}</math>
(\stackrel{\rm{def}}{=}) 		:=

:⇔

≝ 		Определение <math>x := y</math> означает «<math>x</math> по определению равен <math>y</math>».
<math>P :\Leftrightarrow Q</math> означает «<math>P</math> по определению равносильно <math>Q</math>» 		<math>{\rm ch} \left( x \right) := {1\over 2}\left(e^x+e^{-x}\right)</math> (определение гиперболического косинуса)
<math>A \oplus B :\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)</math> (определение исключающего «ИЛИ»)
«равно/равносильно по определению»

Теория множеств и теория чисел

Символ TeX
(Команда TeX) 		Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
<math>\{,\}</math> { } Множество элементов <math>\{a,\;b,\;c\}</math> означает множество, элементами которого являются <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>. <math>\mathbb N = \{1,\;2,\;\ldots \}</math> (множество натуральных чисел)
«Множество…»
<math>\{|\}</math> {|} Множество элементов, удовлетворяющих условию <math>\{x\,|\,P\left( x \right)\}</math> означает множество всех <math>x</math> таких, что верно <math>P\left( x \right)</math>. <math>\{n\in \mathbb N\,|\,n^2<20\} = \{1,\;2,\;3,\;4\}</math>
«Множество всех… таких, что верно…»
<math>\varnothing</math>
(\varnothing)
<math>\{\}</math>
  		∅

{} 		Пустое множество <math>\{\}</math> и <math>\varnothing</math> означают множество, не содержащее ни одного элемента. <math>\{n\in \mathbb N\,|\,1<n^2<4\} = \varnothing</math>
«Пустое множество»
<math>\in</math>
(\in)
<math>\notin</math>
(\notin) 		∈

∉ 		Принадлежность/непринадлежность к множеству <math>a\in S</math> означает «<math>a</math> является элементом множества <math>S</math>»
<math>a\notin S</math> означает «<math>a</math> не является элементом множества <math>S</math>» 		<math>2\in \mathbb N</math>
<math>{1\over 2}\notin \mathbb N</math>
«принадлежит», «из»
«не принадлежит»
<math>\subseteq</math>
(\subseteq)
<math>\subset</math>
(\subset) 		⊆

⊂ 		Подмножество <math>A\subseteq B</math> означает «каждый элемент из <math>A</math> также является элементом из <math>B</math>».
<math>A\subset B</math> обычно означает то же, что и <math>A\subseteq B</math>. Однако некоторые авторы используют <math>\subset</math>, чтобы показать строгое включение (то есть <math>\subsetneq</math>). 		<math>(A\cap B) \subseteq A</math>
<math>\mathbb Q\subseteq \mathbb R</math>
«является подмножеством», «включено в»
<math>\supseteq</math>
(\supseteq)
<math>\supset</math>
(\supset) 		⊇

⊃ 		Надмножество <math>A\supseteq B</math> означает «каждый элемент из <math>B</math> также является элементом из <math>A</math>».
<math>A\supset B</math> обычно означает то же, что и <math>A\supseteq B</math>. Однако некоторые авторы используют <math>\supset</math>, чтобы показать строгое включение (то есть <math>\supsetneq</math>). 		<math>(A\cup B) \supseteq A</math>
<math>\mathbb R\supseteq \mathbb Q</math>
«является надмножеством», «включает в себя»
<math>\subsetneq</math>
(\subsetneq) 		⊊ Собственное подмножество <math>A\subsetneq B</math> означает <math>A\subseteq B</math> и <math>A\ne B</math>. <math>\mathbb N\subsetneq \mathbb Q</math>
«является собственным подмножеством», «строго включается в»
<math>\supsetneq</math>
(\supsetneq) 		⊋ Собственное надмножество <math>A\supsetneq B</math> означает <math>A\supseteq B</math> и <math>A\ne B</math>. <math>\mathbb Q\supsetneq \mathbb N</math>
«является собственным надмножеством», «строго включает в себя»
<math>\cup</math>
(\cup) 		⋃ Объединение <math>A\cup B</math> означает множество, содержащее все элементы из <math>A</math> и <math>B</math> <math>A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B</math>
«Объединение … и …», «…, объединённое с …»
<math>\cap</math>
(\cap) 		⋂ Пересечение <math>A\cap B</math> означает множество одинаковых элементов, принадлежащих и <math>A</math>, и <math>B</math>. <math>\{x\in \R\,|\,x^2=1\}\cap \mathbb N = \{1\}</math>
«Пересечение … и …», «…, пересечённое с …»
<math>\setminus</math>
(\setminus) 		\ Разность множеств <math>A\setminus B</math> означает множество элементов, принадлежащих <math>A</math>, но не принадлежащих <math>B</math>. <math>\{1,\;2,\;3,\;4\}\setminus \{3,\;4,\;5,\;6\} = \{1,\;2\}</math>
«разность … и …», «минус», «… без …»
<math>\to</math>
(\to) 		→ Функция (отображение) <math>f\colon X \to Y</math> означает функцию <math>f</math> с областью определения <math>X</math> и областью значений <math>Y</math>. Функция <math>f\colon \mathbb Z \to \mathbb N\cup\{0\}</math>, определённая как <math>f\left( x \right)=x^2</math>
«из … в …»,
<math>\mapsto</math>
(\mapsto) 		↦ Отображение <math>f\colon x \mapsto f\left( x \right)</math> означает, что образом <math>x</math> после применения функции <math>f</math> будет <math>f\left( x \right)</math>. Функцию, определённую как <math>f\left( x \right)=x^2</math>, можно записать так: <math>f\colon x \mapsto x^2</math>
«отображается в»
<math>\mathbb N</math>
(\mathbb N) 		N или ℕ Натуральные числа <math>\mathbb N</math> означает множество <math>\{1,\;2,\;3,\;\ldots\}</math> или реже <math>\{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots\}</math> (в зависимости от ситуации). <math>\{\left|a\right|\,|\,a\in \mathbb Z\}=\mathbb N</math>
«Эн»
<math>\mathbb Z</math>
(\mathbb Z) 		Z или ℤ Целые числа <math>\mathbb Z</math> означает множество <math>\{\ldots,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots\}</math> <math>\{a,\;-a\,|\,a\in\mathbb N\} \cup \{ 0 \}=\mathbb Z</math>
«Зет»
<math>\mathbb Q</math>
(\mathbb Q) 		Q или ℚ Рациональные числа <math>\mathbb Q</math> означает <math>\left\{\left.{p\over q} \right| p\in \mathbb Z \wedge q\in \mathbb N\wedge q\ne 0\right\}</math> <math>3,\!14\in \mathbb Q</math>
<math>\pi \notin \mathbb Q</math>
«Ку»
<math>\mathbb R</math>
(\mathbb R) 		R или ℝ Вещественные (действительные) числа <math>\R</math> означает множество всех пределов последовательностей из <math>\mathbb Q</math> <math>\pi \in \R</math>
<math>i \notin \R</math> (<math>i</math> — мнимая единица: <math>i^2=-1</math>)
«Эр»
<math>\mathbb C</math>
(\mathbb C) 		C или ℂ Комплексные числа <math>\mathbb C</math> означает множество <math>\{a+b\cdot i\,|\,a\in \R \wedge b\in \R\}</math> <math>i\in \mathbb C</math>
«Це»
<math>\mathbb H</math>
(\mathbb H) 		H или <math>\mathbb H</math> Кватернионы <math>\mathbb H</math> означает множество <math>\{a+b\cdot i\,+c\cdot j\,+d\cdot k\,|\,a\in \R \wedge b\in \R \wedge c\in \R \wedge d\in \R\}</math> <math>j\in \mathbb H</math>
«Аш»

Элементарная алгебра и арифметика

Символ TeX
(Команда TeX) 		Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
<math>+</math> + Сложение <math>x+y</math> обозначает «сложение <math>x</math> и <math>y</math>»; «прибавить к <math>x</math> число <math>y</math>». 1 + 2 = 3
«Плюс»
<math>-</math> − Вычитание <math>x-y</math> обозначает «вычитание из <math>x</math> числа <math>y</math>». 6 − 3 = 3
«Минус»
<math>\times</math><math>\cdot</math>

<math>*</math>

×

·

*

Умножение <math>x\times y</math> (<math>x\cdot y</math> или <math>xy</math>) обозначает «<math>x</math> умножить на <math>y</math>». <math>2\times 4 = 8</math>
«Умножить на»
<math>=</math> = Равенство <math>x=y</math> обозначает «<math>x</math> и <math>y</math> принимают одно и то же значение». 1 + 2 = 6 − 3
«равно»
<math><</math><math>></math> <> Сравнение <math>x<y</math> обозначает, что <math>x</math> строго меньше <math>y</math>.

<math>x>y</math> означает, что <math>x</math> строго больше <math>y</math>.

<math>x<y\Leftrightarrow y>x</math>
«меньше чем», «больше чем»
<math>\leqslant</math> или <math>\leq</math>(\leqslant или \leq)<math>\geqslant</math> или <math>\geq</math>(\geqslant или \geq) ⩽ или ≤

⩾ или ≥

Сравнение <math>x\leqslant y</math> означает, что <math>x</math> меньше или равен <math>y</math>.

<math>x\geqslant y</math> означает, что <math>x</math> больше или равен <math>y</math>.

<math>x\geqslant 1\Rightarrow x^2\geqslant x</math>
«меньше или равно»; «больше или равно»
<math>\approx</math>(\approx) ≈ Приблизительное равенство <math>e\approx 2,\!718</math> с точностью до 10Шаблон:Sup означает, что 2,718 отличается от <math>e</math> не больше чем на 10Шаблон:Sup. <math>\pi \approx 3,\!1415926</math> с точностью до 10Шаблон:Sup.
«приблизительно равно»
<math>\propto</math>(\propto) ∝ Пропорциональность <math>a \propto b</math> означает, что есть такое число k, что <math>a=kb</math> (тогда говорят, что <math>k</math> — коэффициент пропорциональности). <math> U(\theta) \propto e^{-[\frac{\pi \sigma \sin \theta}{\lambda}]^2}</math>
«пропорционально»
<math>\sqrt{}</math>(\sqrt{}) √ Арифметический квадратный корень <math>\sqrt x</math> означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт <math>x</math> (равнозначно записи <math>\sqrt[2]{x}</math>). <math>\sqrt 4=2</math>; <math>\sqrt {x^2}= \left|x\right|</math>
«Корень квадратный из …»
∛

∜

Кубический корень;

корень четвёртой степени

<math>\sqrt[3]{y}=x</math>, если <math>x^3=y</math> (то есть <math>x \cdot x \cdot x = y</math> );

<math>\sqrt[4]{b}=a</math>, если <math>a^4=b</math> (аналогично <math>a \cdot a \cdot a \cdot a = b</math>).

<math>\sqrt[3]{27}=3</math>;

<math>\sqrt[4]{16}=2</math>.

<math>\infty</math>(\infty) ∞ Бесконечность <math>+\infty</math> и <math>-\infty</math> суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, большие/меньшие всех действительных чисел. <math>\lim\limits_{x\to 0} {1\over \left|x\right|}= \infty</math>
«Плюс/минус бесконечность»

Общая алгебра

Символ TeX
(Команда TeX) 		Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
<math>\triangleleft</math> ⊲ Нормальная подгруппа, идеал кольца <math>H \triangleleft G</math> означает «<math>H</math> является нормальной подгруппой группы <math>G</math>», если <math>G</math> — группа, и «<math>H</math> является (двусторонним) идеалом кольца <math>G</math>», если <math>G</math> — кольцо.
«нормальна в», «… является идеалом …»
<math>[\, :\, ]</math> [ : ] Индекс подгруппы, размерность поля <math>[G:H]</math> означает «индекс подгруппы <math>H</math> в группе <math>G</math>», если <math>G</math> — группа, и «размерность поля <math>H</math> над полем <math>G</math>», если <math>G</math> и <math>H</math> — поля.
«индекс … в …», «размерность … над …»
<math>\times</math> × Прямое произведение групп <math>G \times H</math> означает «прямое произведение групп <math>G</math> и <math>H</math>».
«прямое произведение … и …»
<math>\oplus</math> ⊕ Прямая сумма подпространств <math>V = V_1 \oplus V_2</math> означает «пространство <math>V</math> разлагается в прямую сумму подпространств <math>V_1</math> и <math>V_2</math>».
«прямая сумма … и …»
<math>[\, ,\, ]</math> [ , ] Коммутатор элементов группы <math>[g,\,h]</math> означает «коммутатор элементов <math>g</math> и <math>h</math> группы <math>G</math>», то есть элемент <math>ghg^{-1}h^{-1}</math>.
«коммутатор … и …»
<math>G^\prime</math> G' Коммутант <math>G^\prime</math> означает «коммутант группы <math>G</math>».
«коммутант …»
<math>\langle\ \rangle_n</math> ⟨ ⟩n Циклическая группа <math>\langle a\rangle_n</math> означает «циклическая группа порядка <math>n</math>, порождённая элементом <math>a</math>».
«Циклическая группа порядка <math>n</math>, порождённая <math>a</math>»
<math>*</math> * Мультипликативная группа поля <math>F^{*}</math> означает «мультипликативная группа поля <math>F</math>», если <math>F</math> — поле.
«мультипликативная группа …»

Линейная алгебра

Символ TeX
(Команда TeX) 		Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
<math>\otimes</math> ⊗ Тензорное произведение <math>T_1 \otimes T_2</math> означает «тензорное произведение тензоров <math>T_1</math> и <math>T_2</math>».
«тензорное произведение … и …»
<math>A^T</math> AT Транспонированная матрица <math>A^T</math> означает «транспонированная матрица <math>A</math>».
«транспонированная матрица …»
<math>E_{i,\,j}</math> Ei, j Матричная единица <math>E_{i,\,j}</math> означает «матричная <math>i,\;j</math>-единица», то есть матрица, у которой на месте <math>(i,\;j)</math> стоит единица, а на остальных местах — нули.
«матричная единица …»
<math>*</math> * Сопряжённый оператор

Сопряжённое пространство

<math>\mathcal{A}^{*}</math> означает «линейный оператор, сопряжённый к <math>\mathcal A</math>», если <math>\mathcal A</math> — линейный оператор.

<math>V^{*}</math> означает «линейное пространство, сопряжённое к <math>V</math> (дуальное к <math>V</math>)», если <math>V</math> — линейное пространство.

«оператор, сопряжённый к …»; «пространство, сопряжённое к …»;

Анализ

Символ TeX
(Команда TeX) 		Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
<math>\infty</math>(\infty) ∞ Бесконечность <math>+\infty</math> и <math>-\infty</math> суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, большие/меньшие всех действительных чисел. <math>\lim\limits_{x\to 0} {1\over \left|x\right|}= \infty</math>
«Плюс/минус бесконечность»
<math>\int dx</math>(\int dx) ∫ Интеграл <math>\int\limits_a^b f\left( x \right)\, dx</math> означает «интеграл от <math>a</math> до <math>b</math> функции <math>f</math> от <math>x</math> по переменной <math>x</math>». <math>\int\limits_0^b x^2\, dx = \frac{b^3}{3}</math>;<math>\int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} + C</math>
«Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…»
<math>\begin{align}

& \frac{df}{dx} \\ & f'\left( x \right)\, \\ \end{align} </math>

df/dx

f'(x)

Производная <math>\frac{df}{dx}</math> или <math>f'\left( x \right)</math> означает «(первая) производная функции <math>f</math> от <math>x</math> по переменной <math>x</math>». <math>\frac{d \cos x}{dx} = -\sin x</math>
«Производная … по …»
<math>\frac{\partial f \left( x, y, z, \ldots \right)}{\partial y}</math>(\partial для ∂) ∂f/∂y Частная производная <math>\frac{\partial f \left( x, y, z, \ldots \right)}{\partial y}</math> означает «(первая) частная производная функции <math>f</math> от переменных <math>x, y, z, \ldots</math> по переменной <math>y</math>». <math>\begin{align}

& \frac{\partial}{\partial y} \left( x^2 \cos xy \right) = \\ & = \left. \frac{d}{dy} \left( x^2 \cos xy \right) \right| _{x\,=\,\mathrm{const}} \\ & = -x^3 \sin xy \\ \end{align}</math>

«Частная производная … по …»
<math>\begin{align}

& \frac{d^n f}{dx^n} \\ & f^{\left( n \right)} \left( x \right)\, \\ \end{align} </math>

dШаблон:Supf/dxШаблон:Sup

fШаблон:Sup(x)

Производная <math>n</math>-го порядка <math>\frac{d^n f}{dx^n}</math> или <math>f^{\left( n \right)} \left( x \right)</math> означает «<math>n</math>-я производная функции <math>f</math> по переменной <math>x</math>» (при втором способе записи, если <math>n</math> — фиксированное число, то оно пишется либо арабскими цифрами в круглых скобках, либо римскими цифрами без скобок) <math>\cos^{IV}x=\frac{d^4 \cos x}{dx^4} = \cos x</math>.
«<math>n</math>-я производная … по …»

Другое

Символ TeX
(Команда TeX) 		Символ (Юникод) Название Значение Пример
Произношение
<math>\left|\;\right|</math>(\left| \right|) | | Абсолютная величина (абсолютное значение) числа или длина (модуль) вектора. В контексте теории множеств может иметь другой смысл — мощность множества <math>\left|x\right|</math> обозначает абсолютную величину <math>x</math>.

<math>|A|</math> обозначает мощность множества <math>A</math> и равняется, если <math>A</math> конечно, числу элементов <math>A</math>.

<math>\left|a+b \ i\right|=\sqrt {a^2+b^2}</math>
«Модуль»; «мощность»
Числа и Теория множеств
<math>\sum</math>(\sum) ∑ Сумма (набора чисел), сумма ряда <math>\sum_{k=1}^n a_k</math> означает «сумма <math>a_k</math>, где <math>k</math> принимает значения от 1 до <math>n</math>», то есть <math>a_1+a_2+\ldots+a_n</math>.

<math>\sum_{k=1}^{\infty} a_k</math> означает сумму ряда, состоящего из <math>a_k</math>.

<math>\sum_{k=1}^4 k^2={\displaystyle1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}}

{\displaystyle =30}</math>

«Сумма … по … от … до …»
Арифметика, Математический анализ
<math>\prod</math>(\prod) ∏ Произведение (набора чисел), произведение ряда <math>\prod_{k=1}^n a_k</math> означает «произведение <math>a_k</math> для всех <math>k</math> от 1 до <math>n</math>», то есть <math>a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n</math> <math>\prod_{k=1}^4 (k+2)=3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=360</math>
«Произведение … по … от … до …»
Арифметика, Математический анализ
<math>!</math> ! Факториал <math>n!</math> означает произведение всех натуральных чисел от 1 до <math>n</math> включительно, то есть <math>1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n</math> <math>n! = \prod_{k=1}^n k = (n-1)!n</math>;

<math>0! = 1</math>;

<math>5! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120</math>;

«<math>n</math> факториал»
Комбинаторика

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки

Шаблон:Математические знаки Шаблон:Наборное производство

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ ISO 80000-2:2019 Шаблон:Wayback.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Таблица_математических_символов&oldid=10898658