Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол обычно буквой Шаблон:Math.
Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:
Двойственный телесный угол к данному телесному углу Шаблон:Math определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Шаблон:Math неострый угол.
Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса Шаблон:Math поверхность с площадью Шаблон:Math2. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла. Полная сфера образует телесный угол, равный 4Шаблон:Math стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Полный телесный угол иногда называют спат (Шаблон:Lang-en)[1].
где <math>r, \vartheta, \varphi</math> — сферические координаты элемента поверхности <math>dS,</math> <math>\mathbf{r}</math> — его радиус-вектор, <math>\mathbf{n}</math> — единичный вектор, нормальный к <math>dS.</math>
Свойства телесных углов
Полный телесный угол (полная сфера) равен 4Шаблон:Math стерадиан.
Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.
Величины некоторых телесных углов
Треугольник с координатами вершин <math>\mathbf{r}_1</math>, <math>\mathbf{r}_2</math>, <math>\mathbf{r}_3</math> виден из начала координат под телесным углом
где <math>(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)</math> — смешанное произведение данных векторов, <math>(\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{r}_j)</math> — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).
Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора Шаблон:Math равен <math>\Omega = 2\pi \left(1 - \cos \frac{\alpha}{2}\right).</math> Если известны радиус основания <math>R</math> и высота <math>H</math> конуса, то <math>\Omega = 2\pi \left(1 - \frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}}\right).</math> Когда угол раствора конуса мал, <math>\Omega \approx \frac{\pi \alpha^2}{4}</math> (угол <math>\alpha</math> выражен в радианах), или <math>\Omega \approx 0{,}000239 \alpha^2</math> (угол <math>\alpha</math> выражен в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6Шаблон:E стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).
Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.
Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы <math>\theta_a, \theta_b, \theta_c</math> при вершине, как:
Телесный угол при вершине куба (или любого другого прямоугольного параллелепипеда) равен <math>\frac{1}{8}</math> полного телесного угла, или <math>\frac{\pi}{2}</math> стерадиан.
Телесный угол, под которым видна грань [[правильный многогранник|правильного Шаблон:Math-гранника]] из его центра, равна <math>\frac{1}{N}</math> полного телесного угла, или <math>\frac{4\pi}{N}</math> стерадиан.
Файл:Oblique circular cone.svgТелесный угол при вершине наклонного кругового конуса Телесный угол, под которым виден круг радиусом Шаблон:Math из произвольной точки пространства (то есть телесный угол при вершине произвольного кругового конуса, не обязательно прямого) вычисляется с использованием полных эллиптических интегралов 1-го и 3-го рода[2]:
