Русская Википедия:Теневое исчисление
Теневое исчисление (от Шаблон:Lang-en, далее от Шаблон:Lang-la — «тень») — математический метод получения некоторых алгебраических тождеств. До 1970-х термин относился к схожести некоторых внешне несвязанных алгебраических тождеств, а также к техникам, использованных для доказательства этих тождеств. Эти техники предложил Джон БлиссардШаблон:Sfn и они иногда называются символическим методом Блиссарда. Их часто приписывают Эдуарду Люка (или Джеймсу Джозефу Сильвестру), которые их интенсивно использовалиШаблон:Sfn.
В 1930-х и 1940-х Эрик Темпл Белл пытался поставить теневое исчисление на строгое основание.
В 1970-х Стивен Роман, Джан-Карло Рота и другие разработали теневое исчисление в смысле линейных функционалов на пространстве многочленов. В настоящее время теневое исчисление относится к изучению Шаблон:Не переведено 5, включая последовательности многочленов Шаблон:Не переведено 5 и последовательности Аппеля, но может включать техники исчисления конечных разностей.
Теневое исчисление в 19-м столетии
Метод является процедурой обозначений, используемых для получающихся тождеств, вовлекающих индексированные последовательности чисел, предполагая, что индексы являются степенями. Буквальное использование абсурдно, но работает успешно — тождества, полученные с помощью теневого исчисления, могут быть должным образом получены с помощью более сложных методов, которые могут быть использованы буквально без логических трудностей.
Пример использует многочлены Бернулли. Рассмотрим, например, обычное биномиальное разложение (которое содержит биномиальные коэффициенты):
- <math>(y+x)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}y^{n-k} x^k</math>
и удивительно похоже выглядящее соотношение для многочленов Бернулли:
- <math>B_n(y+x)=\sum_{k=0}^n{n\choose k}B_{n-k}(y) x^k.</math>
Также сравним первую производную
- <math> \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} </math>
с очень похожим отношением для многочленов Бернулли:
- <math> \frac{d}{dx} B_n(x) = nB_{n-1}(x).</math>
Эти сходства позволяют построить теневые доказательства, которые, на первый взгляд, не могут быть верны, но всё же работают. Так, для примера, если считать, что индекс <math>n-k</math> является степенью:
- <math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}b^{n-k}x^k=(b+x)^n,</math>
после дифференцирования получаем желаемый результат:
- <math>B_n'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).</math>
В формулах выше <math>b</math> является «umbra» (латинское слово, обозначающее «тень»).
См. также Формула Фаульхабера.
Теневые ряды Тейлора
Похожие связи наблюдались также в теории конечных разностей. Теневая версия ряда Тейлора задаётся подобными выражениями, использующими <math>k</math>-ые правосторонние разности <math>\Delta^k [f]</math> многочлена <math>f</math>,
- <math>f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Delta^k [f](0)}{k!}(x)_k</math>
где
- <math>(x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)</math>
— символ Похгаммера, используемый здесь для обозначения убывающего факториала. Похожее соотношение имеет место для левосторонних разностей и возрастающих факториалов.
Эти ряды известны также как ряды Ньютона или правостороннее разложение Ньютона. Аналог разложения Тейлора используется в исчислении конечных разностей.
Белл и Риордан
В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл безуспешно пытался сделать такого рода аргументацию логически строгой. Джон Риордан, работавший в области комбинаторики, в своей книге Combinatorial Identities (Комбинаторные тождества), опубликованной в 1960-х годах, использовал данную технику интенсивно.
Современное теневое исчисление
Другой учёный в области комбинаторики, Джиан-Карло Рота, указал на то, что таинственность исчезает, если рассматривать линейный функционал <math>L</math> над многочленами от <math>z</math>, определённый как
- <math>L\left(z^n\right)= B_n(0)= B_n.</math>
Тогда, используя определение многочленов Бернулли и определение линейности <math>L</math>, можно записать
- <math>
B_n(x) =\sum_{k=0}^n{n\choose k}B_{n-k}x^k = \sum_{k=0}^n{n\choose k}L\left(z^{n-k}\right)x^k = L\left(\sum_{k=0}^n{n\choose k}z^{n-k}x^k\right) = L\left((z+x)^n\right). </math>
Это позволяет заменить вхождение <math>B_n(x)</math> на <math>L((z+x)^n)</math>, то есть перенести <math>n</math> из нижнего индекса в верхний (ключевая операция теневых исчислений). Например, мы можем теперь доказать, что
- <math>B_n(y+x)=\sum_{k=0}^n{n\choose k}B_{n-k}(y) x^k</math>
путём разложения правой части
- <math>\sum_{k=0}^n{n\choose k}B_{n-k}(y) x^k = \sum_{k=0}^n{n\choose k}L\left((z+y)^{n-k}\right) x^k = L\left(\sum_{k=0}^n{n\choose k}(z+y)^{n-k} x^k\right) = L\left((z+x+y)^n\right) = B_n(x+y).</math>
Рота позднее утверждал, что много путаницы получились из-за неудач в различении трёх отношений эквивалентности, которые возникают в этой области.
В статье 1964 года Рота использовал теневые методы для установления формулы рекурсии, которой удовлетворяют числа Белла, которые подсчитывают число разбиений конечных множеств.
В статье Романа и РотыШаблон:Sfn теневое исчисление описывается как изучение теневой алгебры (umbral algebra), определённой как алгебра линейных функционалов над векторным пространством многочленов от <math>x</math> с произведением <math>L_1L_2</math> линейных функционалов, определённым как
- <math>\langle L_1 L_2 \mid x^n \rangle = \sum_{k=0}^n {n \choose k}\langle L_1 \mid x^k\rangle \langle L_2 \mid x^{n-k} \rangle.</math>
Если последовательность многочленов заменяет последовательность чисел как образы <math>y^n</math> при линейном отображении <math>L</math>, теневой метод выглядит как существенная составляющая общей теории Рота специальных многочленов и эта теория является теневым исчислением при некоторых более современных определениях этого терминаШаблон:Sfn. Небольшой пример этой теории можно найти в статье о Шаблон:Не переведено 5. Другая статья — Шаблон:Не переведено 5.
Позднее Рота применял теневое исчисление интенсивно в совместной статье с Шеном для изучения различных комбинаторных свойств полуинвариантовШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья Перепечатано в книге с тем же названием, Academic Press, New York, 1975.
- Шаблон:Книга. Reprinted by Dover, 2005.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
Ссылки
- Шаблон:MathWorld
- Шаблон:Статья
- Roman, S. (1982), The Theory of the Umbral Calculus, I
