Русская Википедия:Тензорное поле
Тензорное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие тензор.
Определение
Формально тензорное поле можно определить несколькими способами.
Определение через понятие структуры на многообразии
Используя основное понятие дифференциальной геометрии — структура на многообразии, — можно дать следующее определение:
Пусть <math>V=\R^n</math>, <math>V^*=\mathrm{Hom}\,(V,\;\R)</math> и <math>V^p_q=((\overset{p}{\otimes}V))\otimes((\overset{q}{\otimes} V^*))</math> — пространство тензоров типа <math>(p,\;q)</math> с естественным тензорным представлением группы <math>GL^1(n)=GL(n)</math>, тогда структура типа <math>V^p_q</math> является линейной структурой первого порядка и называется тензорным полем (или тензорной структурой) типа <math>(p,\;q)</math>.
Определение через понятие тензорного расслоения
При определении тензорного поля можно отталкиваться от понятия тензорного расслоения.
Тензорное поле — это сечение тензорного расслоения <math>T^{p,\;q}(M)</math> на дифференцируемом многообразии <math>M</math>, изоморфного в общем случае тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений
- <math>T^{p,\;q}(M)\cong\overset{p}{\otimes}T(M)\otimes\overset{q}{\otimes}T(M)^*.</math>
Нестрогое определение
Менее формально тензорное поле можно рассматривать как отображение, которое каждой точке рассматриваемого многообразия <math>M</math> ставит в соответствие тензор постоянной валентности.
Область применения
Понятие тензорного поля естественным образом возникает в механике и физике сплошных сред при описании анизотропных сред. Понятие тензорного поля находит применение во всех прикладных науках, где такие среды рассматриваются и изучаются. Оно входит в математический аппарат общей и специальной теории относительности.
Расширенное тензорное поле
Понятие расширенного тензорного поля возникает в результате расширения понятия тензорного поля в изложенном выше смысле.
Нестрогое определение
Проще всего понимать такое расширение исходя из нестрогого определения, согласно которому тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке <math>\displaystyle x</math> многообразия <math>\displaystyle M</math> некоторый тензор фиксированной валентности <math>\displaystyle (p,q)</math>, отнесенный к этой точке <math>\displaystyle x</math>. Пусть теперь <math>\displaystyle\tilde M</math> — некоторое другое многообразие, являющееся линейным расслоением над <math>\displaystyle M</math>, и пусть <math>\displaystyle\pi:\tilde M\to M</math> — каноническая проекция для такого расслоения. Тогда расширенное тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке <math>\displaystyle y</math> многообразия <math>\displaystyle\tilde M</math> некоторый тензор фиксированной валентности <math>\displaystyle (p,q)</math> на <math>\displaystyle\tilde M</math>, отнесенный к точке <math>\displaystyle x=\pi(y)</math>.
Литература
