Русская Википедия:Теорема Банаха — Мазура
Теорема Банаха — Мазура утверждает, что нормированные пространства являются подпространствами пространства непрерывных функций на отрезке. Названа в честь Стефана Банаха и Станислава Мазура.
Формулировка
Любое вещественное сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно замкнутому подпространству пространства всех непрерывных функций от единичного интервала до вещественной прямой.
Вариации и обобщения
Несепарабельные банаховы пространства не могут изометрически вкладываться в сепарабельное пространство <math>C^0([0,1],\R)</math>, но для каждого банахова пространства Шаблон:Mvar можно найти компактное хаусдорфово пространство Шаблон:Mvar и изометрическое линейное вложение Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar в пространство Шаблон:Math вещественных непрерывных функций на Шаблон:Mvar. За Шаблон:Mvar можно взять единичный шар двойственного пространства Шаблон:Math, оснащенного w *-топологией. Этот шар компактен по теореме Алаоглу. Вложение определяется как
- <math> \forall x' \in K: \qquad j(x)(x') = x'(x).</math>
Отображение Шаблон:Mvar является линейным, и оно изометрично по теореме Хана — Банаха.
Литература
Агеев С.М., Богатый С.А. О негомеоморфности компакта Банаха-Мазура и гильбертова куба // УМН. — 2007. — Т. 53, № 1. — С. 209—210.
