Русская Википедия:Теорема Бернштейна о седловом графике
Материал из Онлайн справочника
Теорема Бернштейна о седловом графике — классическая теорема о седловых поверхностях. Доказана Сергеем Натановичем Бернштейном.[1]
Формулировка
Предположим график гладкой функции <math>f\colon\R^2\to\R</math> является строго седловой поверхностью. Тогда функция <math>f</math> неограничена; то есть не существует константы <math>C</math> такой, что <math>f(x,y)\le C</math> для любой <math>(x,y)\in \R^2</math>.
Замечания
- Утверждение теоремы неверно без предположения что поверхность является графиком. Пример полной седловой поверхности лежащей между двумя праллельными плоскостями можно найти среди поверхностей вращения.
- Существуют также седловые графики лежащие в верхнем полупространстве <math>z>0</math>; таков например график <math>z=\exp(x-y^2)</math>.
Вариации и обобщения
- Если график гладкой ограниченной функции является нестрого седловым, то график является линейчатой поверхностью с параллельными образующими.
Примечания
- ↑ Шаблон:Citation German translation in Шаблон:Citation Русский перевод в «Успехах математических наук», вып. VIII (1941), 75—81 и в С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений. Т. 3. (1960) с. 251—258.
