Русская Википедия:Теорема Бёрча
Теорема Бёрча – это теорема названная именем британского математика Брайана Джона Бёрча. Теорема является утверждением о существовании и представимости нулей форм нечётной степени.
Утверждение теоремы Бёрча
Пусть K алгебраическое числовое поле, k, l и n натуральные числа, <math>r_1,\dots,r_k</math> нечётные натуральные числа, а <math>f_1,\dots,f_k</math> однородные многочлены с коэффициентами из K степени <math>r_1,\dots,r_k</math> соответственно от n переменных. Тогда существует число <math>\psi(r_1,\dots,r_k,l,K)</math>, такое что при
- <math>n \geqslant \psi(r_1,\ldots,r_k,l,K)</math>
существует l-мерное векторное подпространство V в Kn, такое что
- <math>f_1(x) = \cdots = f_k(x) = 0 \text{ для всех } x \in V.</math>
Примечания
Доказательство теоремы осуществляется методом математической индукции по максимальной степени форм <math>f_1,\dots,f_k</math>. Существенным для доказательства является специальный случай, который может быть доказан путём применения Шаблон:Нп5, теоремы, утверждающей, что если n достаточно велико и r нечётно, то уравнение
- <math>c_1x_1^r+\cdots+c_nx_n^r=0,\quad c_i \in \mathbb{Z},\ i=1,\ldots,n</math>
имеет решение в целых числах <math>x_1,\dots,x_n</math>, в котором не все переменные равны 0.
Условие нечётности r является необходимым, поскольку формы чётного порядка, такие как положительно определённые квадратичные формы, могут иметь 0 только в начале координат.
Литература
