Русская Википедия:Теорема Вейерштрасса о целых функциях

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема

Любая целая функция <math>f</math>, имеющая не более чем счётное количество нулей <math>\{0\}\cup\{a_n\}\to\infty</math>, где точка 0 — нуль порядка <math>\lambda</math>, может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

<math>f(z)=z^\lambda e^{h(z)}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n}\right)</math>,

где <math>h</math> — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа <math>p_n</math> подобраны таким образом, чтобы ряд

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n+1}\left|\frac{z}{a_n}\right|^{p_n+1}</math>

сходился при всех <math>z</math>. При <math>p_n = 0</math> соответственная множителю номер n экспонента опускается (считается равной <math>\exp(0) = 1</math>).

На случай кратных корней эта теорема обобщается следующим образом. Самым общим выражением для целой функции <math>f</math>, которая в заданных точках точках <math>z=a_k</math> (<math>a_k\to\infty</math>) имеет нули кратности <math>n_k</math>, является произведение

<math>f(z)=z^{n_0} e^{h(z)}\prod_{k=1}^\infty\left\{\left(1-\frac{z}{a_k}\right)\exp\left(\frac{z}{a_k}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_k}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_k}\left(\frac{z}{a_k}\right)^{p_k}\right)\right\}^{n_k}</math>,

где <math>h</math> — произвольная целая функция, а неотрицательные целые числа <math>p_n</math> подобраны таким образом, чтобы ряд

<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{n_k}{p_k+1}\left|\frac{z}{a_k}\right|^{p_k+1}</math>

сходился при всех <math>z</math>.

Примеры

Разложение синуса и косинуса в бесконечное произведение.

<math>\sin \pi z = \pi z \prod_{n\neq 0} \left(1-\frac{z}{n}\right)e^{z/n} = \pi z\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)</math>

<math>\cos \pi z = \prod_{q \in \mathbb{Z}, \, q \; \text{odd} } \left(1-\frac{2z}{q}\right)e^{2z/q} = \prod_{n=0}^\infty \left( 1 - \frac{4z^2}{(2n+1)^2} \right) </math>

Замечание

Данная теорема, как и теорема Миттаг-Леффлера, представляет собой обобщение известного свойства — разложения многочленов на сомножители — на случай целых функций.

Литература

• Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М., 1968. Стр. 125 и сл.
• Rüchs F. Funktionentheorie. Berlin, 1962. Стр. 200.
• Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — С. 316