Русская Википедия:Теорема Вика для функционального интеграла
Теорема Вика для функционального интеграла — это обобщение теоремы Вика для многочлена от координат многомерного Гауссового вектора на случай континуального распределения Гаусса. Широко используется в аппарате функциональных интегралов.
Формулировка
Шаблон:Theorem Пусть случайное поле <math> \varphi(X) </math> отвечает континуальному распределению Гаусса с нулевым матожиданием, т.е. <math> \langle \varphi(X) \rangle = 0 </math>. Тогда для средних значений произведений величин вида <math> \varphi_i = \varphi(X_i) </math> верно следующее:
<math> \langle \varphi_1 \cdot \ldots \cdot \varphi_N \rangle = \sum \langle \varphi_{i_{1}} \varphi_{j_{1}} \rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi_{i_{N/2}} \varphi_{j_{N/2}} \rangle, </math>
если <math> N </math> чётное, и
<math> \langle \prod_{i \in I} \varphi_i \rangle = 0, </math>
если <math> N </math> нечётное.
Под <math> \langle \varphi_{i_{1}} \varphi_{j_{1}} \rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi_{i_{N/2}} \varphi_{j_{N/2}} \rangle </math> подразумевается разбиение множества <math> \{ 1, \ldots, N \} </math> на <math> N/2 </math> пар <math> (i_{k}, j_{k}) </math>, суммирование же идёт по всем возможным различным разбиениям <math> \{ 1, \ldots, N \} </math> на такие пары. Русская Википедия:Теорема Вика для функционального интеграла/theorem
Примеры
Для произведения 4 элементов: <math> \langle \varphi_1 \cdot \varphi_2 \cdot \varphi_3 \cdot \varphi_4 \rangle = \langle \varphi_1 \cdot \varphi_2 \rangle \cdot \langle \varphi_3 \cdot \varphi_4 \rangle + \langle \varphi_1 \cdot \varphi_3 \rangle \cdot \langle \varphi_2 \cdot \varphi_4 \rangle + \langle \varphi_1 \cdot \varphi_4 \rangle \cdot \langle \varphi_2 \cdot \varphi_3 \rangle </math>.
Для произведения 6 элементов:
<math> \langle \varphi_1 \cdot \varphi_2 \cdot \varphi_3 \cdot \varphi_4 \cdot \varphi_5 \cdot \varphi_6 \rangle = \sum \langle \varphi_i \cdot \varphi_j \rangle \cdot \langle \varphi_k \cdot \varphi_l \rangle \cdot \langle \varphi_m \cdot \varphi_n \rangle </math>,
причём суммирование производится по всем возможным спариваниям <math> (i, j), (k, l), (m, n) </math> выбранным из множества <math> \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} </math>, например, <math> (1, 3), (2, 5), (4, 6) </math> или <math> (1, 5), (2, 4), (3, 6) </math> (всего таких спариваний 15).
Аналогично для случаев 8 и более элементов
Использование
Известно, что если Гауссова плотность распределения описывается формулой
<math> \rho \left[ \varphi \right] = C \exp \left\{ -\frac{\varphi K \varphi}{2} \right\} </math>,
то
<math> \langle \varphi_1 \cdot \varphi_2 \rangle = \langle \varphi(X_1) \cdot \varphi(X_2) \rangle = K^{-1}(X_1, X_2) </math>.
То есть любую корреляционную функцию <math> G(X_1, \ldots, X_N) = \langle \varphi(X_1), \ldots, \varphi(X_N) \rangle </math> можно по теореме Вика выразить через комбинации <math> K^{-1} </math>, т.е., например
<math> G(X_1, X_2, X_3, X_4) = K^{-1}(X_1, X_2) \cdot K^{-1}(X_3, X_4) + K^{-1}(X_1, X_3) \cdot K^{-1}(X_2, X_4) + K^{-1}(X_1, X_4) \cdot K^{-1}(X_2, X_3) </math>.
См. также
Литература
