Русская Википедия:Теорема Виртингера
Теорема Виртингера — теорема о геометрических свойствах многомерного комплексного пространства. Устанавливает вид дифференциальной формы, измеряющей объёмы комплексных многообразий. Была доказана Вильгельмом Виртингером в 1936 году.
Формулировка
Пусть <math>M \subset C^{n}</math> — многообразие класса <math>C^{1}</math> чётной вещественной размерности <math>2m</math>. Объём этого многообразия:
- <math>Vol M \geqslant \frac{1}{m!}\int_{M} \varphi_{0}^{m}</math>,
причём равенство здесь достигается в том и только том случае, когда <math>M</math> — комплексное <math>m</math>-мерное многообразие.
Здесь дифференциальная форма <math> \varphi_{0} = \frac{i}{2}\sum_{\nu=1}^{n}dz_{\nu} \wedge \bar{dz_{\nu}}= \frac{i}{2}\partial \bar{\partial}\left | z \right |^{2}</math>, где <math>\left | z \right |^{2} = \sum z_{\nu}\bar{z_{\nu}}</math> — евклидов квадрат модуля.
Литература
- Б. В. Шабат. Введение в комплексный анализ, часть II, Функции нескольких переменных. — М.: Наука, 1985. — стр. 133.
