Русская Википедия:Теорема Грушко о разложении
Теорема Грушко о разложении даёт единственное разложение конечно порождённой группы в свободное произведение групп.
Доказана Игорем Александровичем Грушко в 1940 году и независимо Шаблон:Iw в 1943 году.
Эта теорема является теоретико-групповым аналогом теоремы Кнесера о разложении для 3-мерных многообразий, которая утверждает, что любое замкнутое 3-мерное многообразие представляется как связная сумма неприводимых 3-мерных многообразий.
Формулировка
Любая нетривиальная конечно порожденная группа <math>G</math> может быть разложена как свободное произведение
- <math>G=A_1*\dots*A_r*F_s</math>,
где каждая из группа <math>A_i</math> нетривиальна и не свободная (в частности не бесконечная циклическая группа), и <math>F_s</math> — свободная группа ранга <math>s</math>. Более того, это разложение единственно с точностью до перестановки.
Замечания
- Существование разложения следует из теоремы Глушко о том, что ранг свободного произведения конечнопорождённых групп равен сумме рангов; то есть
- <math>\mathrm{rank}(A*B)=\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B</math>
- для любой пары конечнопорождённых групп <math>A</math> и <math>B</math>. Единственность требует дополнительного рассуждения.
Литература
- Шаблон:Статья
- B. H. Neumann. On the number of generators of a free product. Journal of the London Mathematical Society, vol 18, (1943), pp. 12—20.
