Русская Википедия:Теорема Жордана о конечных линейных группах
Материал из Онлайн справочника
Теорема Жордана теорема о конечных линейных группах гарантирует наличие большой коммутативной подгруппы в любой конечной линейной группе.
В первоначальном виде доказана Камиллем Жорданом, позже несколько раз улучшена.
Формулировка
Для любой размерности <math>n</math>, существует число <math>f(n)</math> такое, что любая конечная подгруппа <math>G</math> группы <math>\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})</math> обратимых матриц с комплексными компонентами содержит нормальную коммутативную подгруппу <math>H</math> с индексом <math>[G:H]\le f(n)</math>
Вариации и обобщения
- Шур доказал более общий результат для периодических групп, при этом дал следующую оценку:
- <math>f(n)=\left( \sqrt{8n} + 1 \right)^{2n^2} - \left( \sqrt{8n} - 1 \right)^{2n^2}</math>[1]
- Для конечных групп, более точную оценку доказал Шаблон:Iw:
- <math>f(n)=n!\cdot 12^{n(\pi(n+1) + 1)}</math>
- где <math>\pi(n)</math> есть функция распределения простых чисел.[2]
- Эта оценка была улучшена Шаблон:Iw, который заменил "12" на "6".
- Впоследствии, Майкл Коллинз, с помощью классификации конечных простых групп, показал, что <math>f(n)=(n+1)!</math> при <math>n\ge 71</math>, и дал почти полное описаний поведения <math>f(n)</math> при малых <math>n</math>.
Примечания
