Теорема Колмогорова — Хинчина о сходимости в теории вероятностей задает критерий сходимости с вероятностью единица бесконечного ряда случайных величин и может быть использована для доказательства теоремы Колмогорова о двух рядах
Формулировка теоремы
Будем предполагать, что <math>\xi_1, \xi_2 . . .</math> последовательность независимых случайных величин, <math>S_n = \xi_1 + \xi_2 + . . . + \xi_n</math> и <math>A</math> — множество тех элементарных исходов <math>\omega</math>, где ряд <math>\sum \xi_n (\omega)</math> сходится к конечному пределу.
Первая часть
Пусть <math>M\xi_n = 0, n \geqslant 1</math>. Тогда, если <math>\sum M \xi_n^2 < \infty </math>, то ряд <math>\sum \xi_n</math> сходится с вероятностью единица.
Вторая часть
Если к тому же случайные величины <math>\xi_n, n \geqslant 1</math> равномерно ограничены: <math>P(|\xi_n| \leqslant c) = 1, c < \infty </math>, то верно и обратное: из сходимости с вероятностью единица ряда <math>\sum \xi_n </math> следует первая часть.
Доказательство
Первой части
Последовательность <math>(S_n), n \geqslant 1</math>, сходится с вероятностью единица тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна с вероятностью единицаШаблон:Sfn, то есть
Шаблон:EF
В силу неравенства Колмогорова:
- <math> P\{\sup_{k \geqslant 1}|S_{n+k}-S_n| \geqslant \varepsilon\} = \lim_{n \rightarrow \infty} P \{\max_{1 \leqslant k \leqslant N} |S_{n+k}-S_n| \geqslant \varepsilon\} \leqslant \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=n}^{n+N} M\xi_k^2}{\varepsilon^2} = \frac{\sum_{k=n}^{\infty} M\xi_k^2}{\varepsilon^2}</math>
Поэтому, если <math>\sum_{k=1}^{\infty} M \xi_k^2 < \infty</math>, то выполнено Шаблон:Eqref, следовательно, ряд <math> \sum \xi_k</math> сходится с вероятностью единица.
Второй части
Пусть ряд <math>\sum \xi_k</math> сходится. Тогда в силу Шаблон:Eqref для достаточно больших <math>n</math>:
Шаблон:EF
В силу неравенства Колмогорова <math>P\{\sup_{k \geqslant 1} |S_{n+k} - S_n| \geqslant \varepsilon \} \geqslant 1 - \frac{(c+\varepsilon )^2}{\sum_{k=n}^{\infty} M \xi_k^2} </math>.
Поэтому, если допустить, что <math>\sum_{k=1}^{\infty}M\xi_k^2 = \infty</math>, то получим
<math>P\{\sup_{k \geqslant 1} |S_{n+k} - S_n| \geqslant \varepsilon \} =1 </math>, что противоречит Шаблон:Eqref <math></math>.
Примечания
Шаблон:Примечания
Литература
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|