Русская Википедия:Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее: Шаблон:Рамка Если <math>\alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_n</math> — различные алгебраические числа, линейно независимые над <math>\mathbb{Q}</math>, то <math>e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n}</math> являются алгебраически независимыми над <math>\mathbb{Q}</math>, то есть, степень трансцендентности расширения <math>\mathbb{Q}(e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n})</math> равна <math>n</math> Шаблон:Конец рамки Часто используется другая эквивалентная формулировка: Шаблон:Рамка Для любых различных алгебраических чисел <math>\alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_n</math> числа <math>e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n}</math> являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел <math>\overline{\mathbb{Q}}</math>. Шаблон:Конец рамки

История

В 1882 году Линдеман доказал, что <math>e^\alpha</math> трансцендентно для любого ненулевого алгебраического <math>\alpha</math>, а в 1885 году Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.

Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π.

Доказательство трансцендентности π

Применим метод доказательства от противного. Предположим, число <math>\pi</math> является алгебраическим. Тогда число <math>i\pi</math>, где <math>i</math> — мнимая единица, также алгебраично, следовательно, по теореме Линдемана — Вейерштрасса число <math>e^{i\pi}</math> трансцендентно, однако согласно тождеству Эйлера оно равно алгебраическому числу <math>-1</math>, что вызывает противоречие. Следовательно, число <math>\pi</math> трансцендентно.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шидловский А. Б. «Диофантовы приближения и трансцендентные числа» (М. ФИЗМАТЛИТ, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4