Русская Википедия:Теорема Линника
Теорема Линника — утверждение теории чисел, являющееся усилением теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Теорема даёт верхнюю оценку на значение чисел, существование которых доказывает теорема Дирихле.
Теорема доказана Юрием Линником в 1944 году.
Для доказательства был использован математический аппарат характеров и функций Дирихле, типичный для задач, связанных с простыми числами в бесконечных арифметических прогрессиях[1][2].
Формулировка
Шаблон:Рамка Для взаимопростых чисел <math>a,d</math> <math>(a < d)</math> обозначим через <math>p(a,d)</math> минимальное число в прогрессии вида <math>a + n d, n=0,1,2,\dots</math>, являющееся простым.
Существуют такие абсолютные константы <math>c, L</math>, что для любых взаимопростых <math>a,d</math> <math>(a<d)</math> выполняется <math>p(a,d) < c d^L</math> Шаблон:Конец рамки
Другие свойства и гипотезы
Из обобщённой гипотезы Римана следовало бы, что
- <math>p(a,d) \le \varphi(d)^2 {(\ln d)}^2</math>,
где <math>\varphi</math> — функция Эйлера.
Существует также гипотеза, что <math>p(a,d) < d^2</math>
Улучшение оценок на показатель L
Показатель <math>L</math> в оценке <math>p(a,d) < c d^L</math> иногда называют константой Линника. Хотя ещё первая работа Линника показывала, что эта константа Шаблон:Iw, однако в работе не делались попытки вычислить точное её значение. Впоследствии константа Линника многократно улучшалась. Ниже приведена история этих улучшений.
L ≤ | Год публикации | Автор |
---|---|---|
10000 | 1957 | Шаблон:Iw[3] |
5448 | 1958 | Пан Ченгдонг |
777 | 1965 | Chen Jingrun[4] |
630 | 1971 | Matti Jutila |
550 | 1970 | Matti Jutila[5] |
168 | 1977 | Chen Jingrun[6] |
80 | 1977 | Matti Jutila[7] |
36 | 1977 | Шаблон:Iw[8] |
20 | 1981 | Сидней Грэхем[9] |
17 | 1979 | Chen Jingrun[10] |
16 | 1986 | Вонг |
13,5 | 1989 | Chen Jingrun и Liu[11][12] |
8 | 1990 | Вонг[13] |
5,5 | 1992 | Шаблон:Iw[14] |
5,18 | 2009 | Xylouris[15] |
5 | 2011 | Xylouris[16] |
См. также
Примечания