Русская Википедия:Теорема Миттаг-Леффлера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции — одна из основных теорем теории аналитических функций, дающая для мероморфных функций аналог разложения рациональной функции на простейшие дроби.

Теорема

Пусть мероморфная функция <math>f(z)</math> имеет в точках <math>

 z = a_{k}, |a_{1}| \leqslant |a_{2}| \leqslant \ldots \leqslant |a_{k}| \leqslant \ldots 

</math> полюсы с главными частями <math>

 g_{k}(\frac{1}{z-a_{k}}) = G_{k}(z)

</math> и пусть <math>

 h_{k}^{(p)} = G_{k}(0) + G_{k}^{1}(0)z + \ldots + \frac{G_{k}^{(p)}(0)}{p!}z^{p}

</math> будут отрезки тейлоровских разложений <math>

 g_{k}
 \left(
   \frac{1}{z-a_{k}}
 \right)

</math> по степеням <math>z</math>. Тогда существует такая последовательность целых чисел <math>p_{k}</math> и такая целая функция <math>f_{0}(z)</math>, что для всех <math>z \ne a_{k}</math> имеет место разложение <math>

 f(z) = f_{0}(z) + 
 \sum_{k=1}^{\infty} 
   \left\{ 
     g_{k}
     \left(
       \frac{1}{z-a_{k}}
     \right) - h_{k}^{p_{k}}(z) 
   \right\}

</math>, абсолютно и равномерно сходящееся в любом конечном круге <math>|z| \leqslant A</math>.

Следствие

Любая мероморфная функция <math>f(z)</math> представима в виде суммы ряда <math>f(z)=h(z)+\sum_{n=0}^\infty\left(g_n(z)-P_n(z)\right)</math> , где <math>h</math> — целая функция, <math>g_n</math> — главные части лорановских разложений в полюсах <math>f(z)</math>, занумерованных по возрастанию их модулей, и <math>P_n</math> — некоторые многочлены.

Литература

• Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — С. 313