Теорема Мори (Шаблон:Lang-en) — это случайное название следующего тригонометрического тождества
- <math> \cos(20^\circ) \cdot \cos(40^\circ) \cdot \cos(80^\circ) = \frac{1}{8}.</math>
Это частный случай более общего тождества
- <math> 2^n \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{\sin(\alpha)}</math>
при n = 3 и α = 20°. «Теорема Мори» получила своё название благодаря Ричарду Фейнману, который использовал это тождество именно под этим именем. Фейнман употреблял это название потому, что в детстве он узнал указанное тождество от мальчика по имени Мори Якобс и впоследствии запомнил теорему на всю жизнь именно под этим именем.[1]
Подобное соотношение для синуса также имеет место:
- <math> \sin(20^\circ) \cdot \sin(40^\circ) \cdot \sin(80^\circ) = \frac{\sqrt 3}{8}</math>.
Более того, разделив второе тождество на первое, получим тождество для тангенса:
- <math> \operatorname{tg}(20^\circ) \cdot \operatorname{tg}(40^\circ) \cdot \operatorname{tg}(80^\circ) = \sqrt 3 = \operatorname{tg}(60^\circ).</math>
Доказательство
Используем известную формулу для синуса двойного угла
- <math> \sin(2 \alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha).</math>
Выразив отсюда <math> \cos(\alpha) </math>, получим
- <math> \cos(\alpha)=\frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)}. </math>
Тогда имеем
- <math>
\begin{align}
\cos(2 \alpha) & = \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \\[6pt]
\cos(4 \alpha) & = \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \\
& {}\,\,\, \vdots \\
\cos(2^{n-1} \alpha) & = \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}.
\end{align}
</math>
Перемножая соответственно левые части этих равенств друг на друга, и правые части - друг на друга, получаем:
- <math> \cos(\alpha) \cos(2 \alpha) \cos(4 \alpha) \cdots \cos(2^{n-1} \alpha)=
\frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \cdot \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \cdots \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}. </math>
После сокращения дробей останется синус из последнего числителя и синус из первого знаменателя, а также 2 в степени n в знаменателе:
- <math> \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{2^n \sin(\alpha)}, </math>
Это тождество представляет собой общую форму записи теоремы Мори.
Примечания
Шаблон:Примечания
Ссылки
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|
- ↑ W. A. Beyer, J. D. Louck, and D. Zeilberger, A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life, Math. Mag. 69, 43—44, 1996.