Русская Википедия:Теорема Мура о факторпространстве

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Мура о факторпространстве — классическое утверждение двумерной топологии, даёт достаточное условие на то, что факторпространство сферы гомеоморфно двумерной сфере.

Доказана Робертом Муром в 1925 году.

Формулировки

Пусть <math>f\colon \mathbb{S}^2\to X</math> — сюръективное непрерывное отображение двумерной сферы <math>\mathbb{S}^2</math> на хаусдорфово пространство <math>X</math>. Предположим, что для любой точки <math>x\in X</math> прообраз <math>f^{-1}\{x\}</math>, а также его дополнение <math>\mathbb{S}^2\backslash f^{-1}\{x\}</math> связны. Тогда <math>X</math> гомеоморфно <math>\mathbb{S}^2</math>, более того отображение <math>f\colon \mathbb{S}^2\to X</math> есть предел гомеоморфизмов <math>f_n\colon \mathbb{S}^2\to X</math>.

Замечания

Эквивалентная формулировка теоремы даётся на языке отношения эквивалентности на <math>\mathbb{S}^2</math>. Отображение <math>f\colon \mathbb{S}^2\to X</math> задаёт отношение эквивалентности <math>\sim</math> на <math>\mathbb{S}^2</math>, определяемое как

<math>x\sim y \iff f(x)=f(y).</math>

Классы эквивалентности <math>[x]=\{\,y\in\mathbb{S}^2 \mid x\sim y\,\}</math> образуют полунепрерывное семейство замкнутых множеств. То есть, если <math>x_n\to x</math>, <math>y_n\to y</math> и <math>x_n\sim y_n</math> для любого <math>n</math>, тогда <math>x\sim y</math>.

• Если <math>\sim</math> — отношение эквивалентности на <math>\mathbb{S}^2</math> с полунепрерывными замкнутыми классами эквивалентности такими и для любого <math>x</math> множества <math>[x]</math> и <math>\mathbb{S}^2\backslash [x]</math> связны, то фактор пространство <math>\mathbb{S}^2/\sim</math> гомеоморфно <math>\mathbb{S}^2</math>.

Вариации и обобщения

В старших размерностях необходимым для существования близкого гомеоморфизма, сюръекция <math>f\colon M\to X</math> из многообразия <math>M</math> на хаусдорфово пространство <math>X</math> должна быть клеточной. Это означает, что для любой точки <math>x\in X</math> и любого открытого множества <math>U</math>, содержащего прообраз <math>f^{-1}\{x\}</math>, можно найти замкнутое множество <math>B</math>, гомеоморфное шару, такое что <math>f^{-1}\{x\}\subset B\subset U</math>.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга