Русская Википедия:Теорема Нэша — Кёйпера
Шаблон:Значения Теорема Нэша — Кёйпера утверждает, что любое гладкое короткое вложение (или погружение) <math>n</math>-мерного Риманова многообразия в Евклидово пространство <math>\R^q</math> при <math>q>n</math> можно аппроксимировать <math>C^1</math>-гладким изометрическим вложением (или соответственно погружением).
Формулировка
Термин «изометрическое вложение/погружение» здесь означает соответственно вложение/погружение, которое сохраняет длины кривых.
Более точно: Шаблон:Рамка Пусть <math>(M,g)</math> есть Риманово многообразие и <math>f\colon M^n\to\R^q</math> есть короткое <math>C^\infty </math>-гладкое вложение (или погружение) в Евклидово пространство <math>{\mathbb R}^q</math> и <math>q> n</math>. Тогда для любого <math>\varepsilon>0 </math> существует вложение (или соответственно погружение) <math>f_\varepsilon\colon M^n\to\R^q</math> такое, что
- <math>f_\varepsilon</math> является <math>C^1</math>-гладким,
- (изометричность) для любых двух касательных векторов <math>v,w\in T_x(M)</math> в касательном пространстве точки <math>x\in M</math> мы имеем:
- <math>g(v,w)=\langle df_\epsilon(v),df_\epsilon(w)\rangle.</math>
- (<math>C^0</math>-близость) <math>|f(x)-f_\varepsilon(x)|<\varepsilon</math> для всех <math>x\in M</math>.
Шаблон:Конец рамки Этот результат является весьма контринтуитивным. В частности из него следует что любая замкнутая ориентированная поверхность может быть изометрично <math>C^1</math>-вложена в произвольно малый трёхмерный шар. Из формулы Гаусса следует, что такое вложение невозможно в классе <math>C^2</math>-вложений.
История
Теорема была доказана Нэшем в предположении <math>q> n+1 </math> вместо <math>q> n </math> и приведена к настоящему виду Кёйпером с помощью нехитрого трюка.
Вариации обобщения
- Теорема Нэша о регулярных вложениях
- Теорема Громова о складках утверждает, что для любого короткого отображения из <math>n</math>-мерного риманова многообразия в <math>\R^n</math> существует сколь угодно близкое (негладкое) отображение, сохраняющее длины кривых.
Литература
