Русская Википедия:Теорема О’Нэна — Скотта
Теорема О'Нэна – Скотта — это одна из наиболее влиятельных теорем теории групп перестановок. Столь полезной эту теорему делает классификация простых конечных групп. В исходном виде теорема была о Шаблон:Не переведено 5 симметрической группы. Она появилась как дополнение к статье Леонарда Скотта, написанной для конференции в Санта-Круз по конечным группам в 1979 со сноской, что Майкл О'Нэн независимо доказал тот же результат.
Теорема утверждает, что максимальная подгруппа симметрической группы <math>\mathrm{Sym}(\Omega)</math>, где <math>|\Omega| = n</math>, является одной из следующих:
- <math>S_k \times S_{n-k}</math> стабилизатор k-множества (то есть интранзитивна)
- Sa Шаблон:Не переведено 5 Sb с n = ab, стабилизатор разбиения на b частей размера a (то есть импримитивна)
- примитивная (то есть не сохраняет нетривиальное разбиение) и одна из следующих типов:
- AGL(d,p)
- Sl wr Sk, стабилизатор структуры произведения <math>\Omega = \Delta^k</math>
- группа диагонального типа
- почти простая группа
В статье «О теореме О'Нэна – Скотта для примитивных групп перестановок» М.У. Либек, Шерил Прегер и Ян Саксл дают полное замкнутое доказательство теоремыШаблон:Sfn. В дополнение к доказательству они выявили, что истинная сила теоремы О'Нэна – Скотта заключается в возможности разбить конечные примитивные группы на различные типы.
Типы О'Нэна – Скотта
Восемь типов О'Нэна – Скотта конечных примитивных групп перестановок следующие:
HA (голоморф абелевой группы): Это примитивные группы, которые являются подгруппами конечной аффинной полной линейной группы AGL(d,p) для некоторого простого p и положительного целого <math>d \geqslant 1</math>. Для такой группы G, если она примитивна, она должна содержать подгруппу всех переносов, и стабилизатор G0 группы G нулевого вектора должен быть неприводимой подгруппой группы GL(d,p). Примитивные группы типа HA описываются наличием единственной минимальной нормальной подгруппы, которая является элементарно абелевой и действует регулярно.
HS (голоморф простой группы): Пусть T — конечная неабелева простая группа. Тогда <math>M = T{\times}T</math> действует на <math>\Omega = T</math> с помощью <math>t^{(t_1,t_2)} = t_1^{-1}tt_2</math>. Теперь M имеет две минимальные нормальные подгруппы <math>N_1, N_2</math>, каждая из которых изоморфна T и каждая действует регулярно на <math>\Omega</math>, одна с помощью правого умножения, а другая с помощью левого умножения. Действие группы M является примитивным и если мы возьмём <math>\alpha = 1_T</math>, мы получим <math>M_{\alpha} = \{(t,t)|t \in T\}</math>, которая включает Inn(T) из <math>\Omega</math>. Фактически любой автоморфизм группы T будет действовать на <math>\Omega</math>. Примитивная группа типа HS является тогда любой группой G, такой, что <math>M \cong T.\mathrm{Inn}(T) \leqslant G \leqslant T.\mathrm{Aut}(T)</math>. Все такие группы имеют N1 и N2 в качестве минимальных нормальных подгрупп.
HC (голоморф составной группы): Пусть T — неабелева простая группа и пусть <math>N_1 \cong N_2 \cong T^k</math> для некоторого целого <math>k \geqslant 2</math>. Пусть <math>\Omega = T^k</math>. Тогда <math>M = N_1 \times N_2</math> действует транзитивно на <math>\Omega</math> посредством <math>x^{(n_1,n_2)} = n_1^{-1}xn_2</math> для всех <math>x \in \Omega, n_1 \in N_1, n_2 \in N_2</math>. Как и в случае HS, мы имеем <math>M \cong T^k.\mathrm{Inn}(T^k)</math> и любой автоморфизм группы <math>T^k</math> действует на <math>\Omega</math>. Примитивная группа типа HC является группой G, такой, что <math>M \leqslant G \leqslant T^k.\mathrm{Aut}(T^k)</math> и G порождает подгруппу <math>\mathrm{Aut}(T^k) = \mathrm{Aut}(T) \operatorname{wr}S_k</math>, которая действует транзитивно на множестве k простых прямых множителей <math>T^k</math>. Любая такая G имеет две минимальные нормальные подгруппы, каждая изоморфна Tk и регулярна.
Группа типа HC сохраняет структуру произведения <math>\Omega = \Delta^k</math>, где <math>\Delta = T</math> и <math>G \leqslant H\operatorname{wr}S_k</math>, где H является примитивной группой типа HS на <math>\Delta</math>.
TW (скрещённое сплетение): Здесь G имеет единственную минимальную нормальную подгруппу N и <math>N \cong T^k</math> для некоторой конечной неабелевой простой группы T и N действует регулярно на <math>\Omega</math>. Такие группы могут быть построены как скрещённое сплетение и потому обозначается буквами TW (от англ. twisted wreath). Условия, требующиеся для получения примитивности, подразумевают, что <math>k \geqslant 6</math>, так что наименьшая степень таких примитивных групп равна 606 .
AS (почти простая): Здесь G является группой, лежащей между T и Aut(T ), то есть G является почти простой группой, отсюда и обозначение (англ. almost simple). Мы ничего не говорим о действии, кроме того, что оно примитивное. Анализ этого типа требует знания о возможных примитивных действиях почти простых групп, что эквивалентно знанию максимальных подгрупп почти простых групп.
SD (простая диагональная): Пусть <math>N = T^k</math> для некоторой неабелевой простой группы T и целое <math>k \geqslant 2</math> и пусть <math>H = \{(t,\dots,t)| t \in T\} \leqslant N</math>. Тогда N действует на множестве <math>\Omega</math> на правых классах смежности H в N по правому умножению. Мы можем взять <math>\{(t_1,\dots,t_{k-1}, 1)| t_i \in T\}</math> как множество представителей классов смежности для H в N и мы можем отождествить <math>\Omega</math> с <math>T^{k-1}</math>. Теперь <math>(s_1,\dots,s_k) \in N</math> переводит класс смежности с представителями <math>(t_1,\dots,t_{k-1}, 1)</math> в класс смежности <math>H(t_1s_1,\dots,t_{k-1}s_{k-1}, s_k) = H(s_k^{-1}t_ks_1,\dots,s_k^{-1}t_{k-1}s_{k-1}, 1)</math>. Группа Sk порождает автоморфизмы группы N путём перестановки элементов и оставляет неподвижной подгруппу H, а потому действует на множестве <math>\Omega</math>. Заметим также, что H действует на <math>\Omega</math> путём порождения Inn(T) и, фактически, любой автоморфизм <math>\sigma</math> группы T действует на <math>\Omega</math> путём отображения классом смежности с представителями <math>(t_1,\dots,t_{k-1}, 1)</math> в класс смежности <math>(t_1^{\sigma},\dots,t_{k-1}^{\sigma}, 1)</math>. Тогда мы берём группу W = N. <math>(\mathrm{Out}(T) \times S_k) \leqslant \mathrm{Sym}(\Omega)</math>. Примитивная группа типа SD является группой <math>G \leqslant W</math>, такой, что <math>N \vartriangleleft G</math> и G порождает примитивную подгруппу группы Sk на k простых прямых множителях N.
CD (составная диагональная): Здесь <math>\Omega = \Delta^k</math> и <math>G \leqslant H\operatorname{wr}S_k</math>, где H является примитивной группой типа SD на <math>\Delta</math> с минимальной нормальной подгруппой Tl. Более того, <math>N = T^{kl}</math> является минимальной нормальной подгруппой группы G и G порождает транзитивную подгруппу группы Sk.
PA (действие на произведения): Здесь <math>\Omega = \Delta^k</math> и <math>G \leqslant H\operatorname{wr}S_k</math>, где H является примитивной почти простой группой с цоколем T. Тогда G имеет действие на произведения на <math>\Omega</math>. Более того, <math>N = T^k \vartriangleleft G</math> и G порождает транзитивную подгруппу группы Sk в её действии на k простых прямых множителя N.
Некоторые авторы используют другое деление на типы. Наиболее часто типы HS и SD рассматриваются как «диагональный тип», а типы HC, CD и PA рассматриваются как «тип, действующий на произведения»Шаблон:Sfn. Прегер позднее обобщила теорему О'Нэна – Скотта на квазипримитивные группы в статье «Теорема О'Нэна – Скотта для конечных квазипримитивных групп перестановок и приложения к 2-дуговым транзитивным графам»Шаблон:Sfn.
Примечания
Литература
Ссылки
