Шаблон:Значения
Теорема Римана об условно сходящихся рядах — теорема в математическом анализе, которая утверждает, что, переставляя члены произвольного условно сходящегося ряда, можно получить произвольное значение. Этот факт показывает разницу между условной сходимостью и абсолютной сходимостью: если ряд сходится абсолютно, то он будет сходиться к одному и тому же значению вне зависимости от перестановки его элементов (см. Теорема о перестановке ряда).
Формулировка
Пусть дан числовой ряд, который сходится условно, тогда для произвольного числа можно так поменять порядок элементов ряда, что сумма нового ряда станет равна этому числу. Более того, можно так переставить элементы ряда, чтобы сумма ряда стремилась к <math>+\infty </math> или к <math>-\infty </math> или же вовсе не стремилась ни к какому пределу, конечному или бесконечному.
Доказательство
Составим ряд из положительных элементов ряда <math>A</math> и обозначим его <math>P</math>, а элементы ряда <math>P</math> обозначим <math>P_i (i=1,...,\infty)</math>. Соответственно, ряд из модулей отрицательных элементов <math>A</math> обозначим <math>Q</math>. Следовательно, ряд <math>A</math> можно представить как
<math>A=P-Q</math>.
Исходя из свойств условно сходящихся рядов, <math>P</math> и <math>Q</math> — расходятся, а исходя из свойств остатка ряда, все остатки <math>P</math> и <math>Q</math> — расходятся <math>\Rightarrow</math> в каждом из этих рядов, начиная с любого места, можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число.
Пользуясь этим, произведём перестановку членов ряда <math>A</math>.
Сначала возьмём столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла <math>S</math>:
<math>p_1+p_2+...+p_k>S</math>.
За ними запишем столько отрицательных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше <math>S</math>:
<math>p_1+p_2+...+p_k-q_1-q_2-...-q_m<S</math>.
Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда <math>A</math> встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены <math>p</math> и <math>q</math>, набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и <math>S</math> по модулю не превзойдет последнего написанного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов
<math>\lim_{k\to\infty} p_k=0</math> и <math>\lim_{m\to\infty} q_m=0</math>, то новый ряд сходится к <math>S</math>. Шаблон:QED
Шаблон:Rq
Партнерские ресурсы |
---|
Криптовалюты |
|
---|
Магазины |
|
---|
Хостинг |
|
---|
Разное |
- Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
- Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
- Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
- Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
- Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
- Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
- Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
- Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
- SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
- «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
- StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
- Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
- StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
|
---|