Русская Википедия:Теорема Рэлея о точке перегиба
Теорема Рэлея — утверждение в гидродинамике, согласно которому для плоскопараллельного течения для развития неустойчивости необходимым условием является наличие точки перегиба профиля течения. Теорема получена Рэлеем в приближении идеальной жидкости.
Основное утверждение теоремы очевидным образом противоречит экспериментальным фактам. В частности, в течении Пуазёйля реализуется параболический профиль скорости, не обладающий точками перегиба, однако неустойчивость такого течения также возможна.
Доказательство
Рассмотрение возмущений стационарного плоскопараллельного (в координатах <math>(x,z)</math>) течения вязкой жидкости в предположении, что они имеют вид <math>f(z) \text{e}^{i k x}</math>, в линейном приближении приводит к уравнению Орра — Зоммерфельда. Пренебрежение вязкостью (<math>\text{Re} \rightarrow \infty</math>) даёт уравнение Рэлея:
- <math>
\left( \lambda + i k U \right) \nabla^2 w - i k w U = 0, </math>
- <math>
\nabla^2 = \frac{d^2}{d z^2} - k^2, </math>
где <math>w, \lambda = \sigma + i \omega, k</math> — амплитуда, комплексный инкремент и волновое число возмущения, соответственно; <math>U = U(z)</math> — профиль скорости плоскопараллельного течения; <math>\nabla^2</math> — оператор Лапласа для нормальных возмущений. По сравнению с исходным уравнением четвёртого порядка, здесь порядок задачи понизился до второго, что требует корректировки граничных условий. Для канала с твёрдыми стенками условие прилипания, очевидно, заменяется на условие непротекания:
- <math>w \vert_{z=0, h} = 0</math>.
Поделим уравнение на <math>\left( \lambda + i k U \right)</math>, домножим на комплексно-сопряженную амплитуду возмущения <math>w^{\ast}</math> и проинтегрируем по ширине канала:
- <math>
\int\limits_0^h w^{\ast} \nabla^2 w dz = i k \int\limits_0^h \frac{U \vert w \vert^2 }{\left( \lambda + i k U \right)} dz. </math>
Преобразование левой части (с учётом граничных условий для уравнения Рэлея)
- <math>
\begin{align} & \int w^{\ast} \nabla^2 w dz = \int w^{\ast} w dz - k^2 \int \vert w \vert^2 dz = \\ & = w^{\ast} w' \vert_0^h - \int \vert w' \vert^2 dz - k^2 \int \vert w \vert^2 dz = - \int \vert w' \vert^2 dz - k^2 \int \vert w \vert^2 dz. \end{align} </math>
показывает, что она является знакоопределенным и вещественным выражением. Следовательно, справа мнимая часть выражения должна быть равна нулю. Выделим её:
- <math>
\begin{align} & i k \int \frac{U \vert w \vert^2 }{\left( \lambda + i k U \right)} dz = i k \int \frac{U \left( \lambda^{\ast} - i k U \right) \vert w \vert^2 }{\vert \lambda + i k U \vert^2 } dz = \\ & = i k \lambda^{\ast} \int \frac{U \vert w \vert^2 }{\vert \lambda + i k U \vert^2 } dz + k^2 \int \frac{U U \vert w \vert^2 }{\vert \lambda + i k U \vert^2 } dz. \end{align} </math>
Принимая во внимание <math>\lambda = \sigma + i \omega</math>, получим:
- <math>
k \sigma \int \frac{U \vert w \vert^2 }{\vert \lambda + i k U \vert^2 } dz = 0. </math>
Здесь есть две возможности. Во-первых, <math>\sigma = 0</math>, отвечающее нейтральным возмущениям. Однако, это никакой информации об устойчивости не несёт, поскольку амплитуда такого возмущения не изменяется со временем. Потому примем, что равен нулю интеграл. Однако, в подынтегральном выражении все величины, кроме <math>U</math>, положительны. Для выполнения равенства требуется смена знака <math>U</math> внутри канала, следовательно, существует как минимум одна точка перегиба, где <math>U = 0</math>.
Применимость
Очевидно, теорема Рэлея справедлива далеко не всегда. В первую очередь, существенным может оказаться влияние вязкого слагаемого даже при больших числах Рейнольдса, ввиду большого значения четвёртой производной.
Тем не менее, утверждение теоремы является весьма общим. Экспериментальные и численные исследования показывают, что, хотя и в отсутствие точки перегиба неустойчивость возможна, абсолютно устойчивых течений с точками перегиба не обнаружено.
См. также
Литература
- Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: Из-во иностранной литературы, 1958.
