Русская Википедия:Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Essential singularity.png

График функции комплексного переменного e^1/z.
Центрирован относительно существенно особой точки z = 0.
Цвет отражает аргумент, а яркость — модуль значения функции.

Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.

Она гласит, что всякая однозначная аналитическая функция в каждой окрестности существенно особой точки принимает значения, сколь угодно близкие к произвольному наперёд заданному комплексному числу.

История

Была опубликована Ю. В. Сохоцким в 1868 году в его магистерской диссертации; в ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек).

Одновременно с Сохоцким теорему о плотности образа проколотой окрестности существенно особой точки опубликовал итальянский математик Ф. Казорати в своей работе «Теория функций комплексных переменных». Вейерштрасс опубликовал эту теорему только в 1876 году в работе «К теории однозначных аналитических функций». Впервые же она встречается у французских математиков Ш. Брио и Ж. К. Буке в работе по теории эллиптических функций.

Сохоцкий нигде не отстаивал своего приоритета по поводу этого и других своих результатов, приписывавшихся другим; в литературе на европейских языках теорема известна как теорема Казорати — Вейерштрасса.

Формулировка

Каково бы ни было <math>\varepsilon > 0</math>, в любой окрестности существенно особой точки <math>z_0</math> функции <math>f(z)</math> найдётся хотя бы одна точка <math>z_1</math>, в которой значение функции <math>f(z)</math> отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на <math>\varepsilon</math>.

Доказательство

Предположим, что теорема неверна, т.е.

<math>\exists B \in \mathbb{C} \qquad \exists \varepsilon >0 \qquad \exists \eta_0 >0 : \qquad \forall z : |z-z_0|<\eta_0 </math>

<math> |f(z) - B| >\varepsilon </math>

Рассмотрим вспомогательную функцию <math>\psi(z)=\frac{1}{f(z)-B}</math>. В силу нашего предположения функция <math>\psi(z)</math> определена и ограничена в <math>\eta_0</math>-окрестности точки <math>z_0</math>. Следовательно <math>z_0</math> - устранимая особая точка <math>\psi(z)</math>. Это означает, что разложение функции <math>\psi(z)</math> в окрестности точки <math>z_0</math> имеет вид:

<math>\psi(z) = (z-z_0)^m \stackrel{\sim}{\varphi}(z) \qquad \stackrel{\sim}{\varphi}(z) \neq 0</math>.

Тогда, в силу определения функции <math>\psi(z)</math>, в данной окрестности точки <math>z_0</math> имеет место следующее разложение функции <math>f(z)</math>:

<math>f(z) = (z-z_0)^{-m}\varphi(z)+B</math>,

где аналитическая функция <math>\varphi(z)=\frac{1}{\stackrel{\sim}{\varphi}(z)}</math> ограничена в <math>\eta_0</math>-окрестности точки <math>z_0</math>. Но такое разложение означает, что точка <math>z_0</math> является полюсом или правильной точкой функции <math>f(z)</math>, и разложение последней в ряд Лорана должно содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.

Эквивалентным образом эта теорема может быть переформулирована следующим образом:

• Если точка <math>z_0</math> является существенно особой для функции <math>f(z)</math>, аналитической в некоторой проколотой окрестности <math>U=\{z:\,0<|z-z_0|<\varepsilon\}</math>, то для произвольного комплексного числа <math>w</math> можно найти последовательность <math>\{z_n\}\subset U</math>, сходящуюся к <math>z_0</math>, для которой <math>\{f(z_n)\}\to w</math>.
• множество значений голоморфной функции в сколь угодно малой проколотой окрестности её существенной особой точки всюду плотно в <math>\Complex</math>.

Обобщения

Теорему Сохоцкого обобщает Большая теорема Пикара, которая утверждает, что аналитическая функция в окрестности существенно особой точки принимает все значения кроме, быть может, одного значения.

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — Шаблон:М: Наука. — 1968, 448 стр.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — Шаблон:М: Наука. — 1969, 577 стр.