Русская Википедия:Теорема Фробениуса — Перрона
Материал из Онлайн справочника
Теорема Фробениуса — Перрона — теорема о наибольшем собственном значении вещественной квадратной матрицы с положительными компонентами. Эта теорема имеет многочисленные приложения в теории вероятностей (эргодичность цепей Маркова); в теории динамических систем; в экономике; в демографии; в социальных сетях; в поисковых системах.
Доказана Оскаром Перроном (1907) и независимо Георгом Фробениусом (1912). Идея использования этой теоремы для определения порядка игроков в турнирах принадлежит Эдмунду Ландау.
Формулировка
Пусть <math>A</math> — квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения:
- наибольшее по модулю собственное значение <math>r</math> является вещественным и строго положительным;
- это собственное значение является простым корнем характеристического многочлена;
- соответствующий <math>r</math> собственной вектор имеет (точнее говоря, может быть выбран таким образом, чтобы иметь) строго положительные координаты, все остальные собственные векторы таким свойством не обладают;
- собственное значение <math>r</math> удовлетворяет неравенствам
- <math>\min_i \sum_j a_{ij} \leqslant r \leqslant \max_i \sum_j a_{ij}.</math>
См. также
Литература
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука 1966, 576с.
