Русская Википедия:Теорема Харкорта
Теорема Харкорта — это формула в геометрии для площади треугольника как функции длин сторон и расстояний от вершин треугольника до произвольной прямой, касательной к вписанной в треугольник окружностиШаблон:Sfn.
Теорема названа именем Дж. Харкорта, ирландского профессораШаблон:Sfn.
Утверждение
Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда
- <math>a a ^\prime + b b^\prime + c c^\prime = 2K.</math>
Вырожденный случай
Если касательная прямая содержит одну из сторон треугольника, то два расстояния равны нулю и формула упрощается до формулы треугольника — удвоенная площадь равна произведению основания на высоту.
Обобщение
- Если прямая касается вневписанной окружности противоположной, скажем, вершине A треугольника, тоШаблон:Sfn
- <math>-a a ^\prime + b b^\prime + c c^\prime = 2K.</math>
- Если на касательную к кругу радиуса x, концентрическому с вписанным кругом, опустить из вершин треугольника перпендикуляры <math>d_A, d_B, d_C</math>, то [1].
- <math>a d_A + b d_B + c d_C\ = 2px</math>.
- В частности, если x=r, где r -радиус вписанного круга, то мы имеем теорему Харкорта.
Свойство двойственности
Если a', b', c' вместо расстояния до произвольной касательной к вписанной окружности обозначают расстояния от сторон до произвольной точки, равенство
- <math>a a ^\prime + b b^\prime + c c^\prime = 2K</math>
остаётся вернымШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
- ↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. Следствие на с. 43.
