Русская Википедия:Теорема Цермело
Теорема Цермело — теорема теории множеств, утверждающая, что на всяком множестве можно ввести такое отношение порядка, что множество будет вполне упорядоченным. Одна из важнейших теорем в теории множеств. Названа в честь немецкого математика Эрнста Цермело. Теорема Цермело эквивалентна аксиоме выбора, а следовательно, и лемме Цорна.
История
Георг Кантор считал, что утверждение этой теоремы является «фундаментальным принципом мысли».[1] Действительно, любое счётное множество можно тривиально вполне упорядочить, например, перенеся порядок с множества натуральных чисел. Однако большинству математиков трудно представить себе полный порядок уже, например, множества <math>\mathbb{R}</math> действительных чисел. В 1904 году Шаблон:Iw сообщил, что доказал, что такого упорядочения не может существовать. Несколько недель спустя Феликс Хаусдорф обнаружил ошибку в доказательстве.[2] Однако вскорости Эрнст Цермело опубликовал свою известнейшую работу,[3] в которой доказал, что любое множество можно вполне упорядочить. Его доказательство опиралось на впервые сформулированную в этой же работе аксиому выбора. Вызванная этим фактом дискуссия побудила Цермело впоследствии вплотную заняться аксиоматизацией теории множеств, что привело к созданию аксиоматики Цермело — Френкеля.
Доказательство
Шаблон:В планах Доказательство см. в статье Утверждения, эквивалентные аксиоме выбора.
См. также
Литература
- Верещагин Н. Шень А. Начала теории множеств. — 4-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — 112 с. — ISBN 978-5-4439-0012-4.
Примечания
- ↑ Georg Cantor (1883), “Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten”, Mathematische Annalen 21, стр. 545–591.
- ↑ Шаблон:Citation Шаблон:Wayback
- ↑ Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Шаблон:Wayback Mathematische Annalen, 1904.
