Русская Википедия:Теорема Чеботарёва об устойчивости функции
Шаблон:Другие значения термина Теорема Чеботарёва об устойчивости функции — обобщение теоремы Эрмита — Билера на случай целых функций. Названа по имени советского математика Николая Чеботарёва.
Формулировка
Целая функция <math>f</math> тогда и только тогда сильно устойчива, когда соответствующие функции <math>g</math> и <math>h</math> составляют вещественную пару и хотя бы в одной точке вещественной оси функция <math>gh'-g'h</math> положительна.
Пояснения
Здесь целой функцией считается функция <math>f(z)</math> комплексного переменного <math>z</math>, разлагающаяся в степенной ряд: <math>f(z) = a_{0} + a_{1}z + \ldots + a_{n}z^{n}+ \ldots</math>, сходящийся при всех значениях <math>z</math>. Целая функция является устойчивой, если у неё нет корней с положительной вещественной частью. Функции <math>g</math> и <math>h</math> определяются следующим образом. Подставив в <math>f(z)</math> вместо <math>z</math> чисто мнимое число <math>i\omega</math> получаем комплексное число <math>f(i\omega) = g(\omega) + ih(\omega)</math>. Целые функции <math>g</math> и <math>h</math> составляют вещественную пару, если для любых вещественных <math>\lambda</math> и <math>\mu</math> все корни функции <math>\lambda g + \mu h</math> вещественны. Если функции <math>g</math> и <math>h</math> составляют вещественную пару, то корни этих функций перемежаются. Корни многочленов <math>g</math> и <math>h</math> с вещественными коэффициентами перемежаются, если оба многочлена имеют только вещественные и простые корни и между любыми двумя соседними корнями одного многочлена содержится один и только один корень другого многочлена.
Литература
- Постников М. М. Устойчивые многочлены — М.: Наука, 1981. — С. 129.
