Русская Википедия:Теорема Шпильрайна
Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств, впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году.
Формулировка
Любое отношение частичного порядка <math>\leqslant</math>, заданное на некотором множестве <math>X</math>, может быть продолжено до отношения линейного порядка.
Доказательство
Доказательство теоремы основано на применении аксиомы выбора (леммы Куратовского — Цорна).
Обобщения и усиления
Теорема Душника — Миллера
Бен Душник и Б. У. Миллер доказали, что каждое отношение частичного порядка является пересечением содержащих его отношений линейного порядка.
Случай групп
Обобщения теоремы Шпильрайна на случай, когда отношения частичного порядка и продолжающие их отношения линейного порядка, согласованы с алгебраическими операциями групп, колец и других алгебраических систем, на которых заданы эти отношения, рассматривались венгерским математиком Ласло Фуксом. В частности, теорема Фукса гласит, что частичный порядок <math>\leqslant</math> группы <math>G</math> тогда и только тогда может быть продолжен до линейного порядка группы <math>G</math>, когда он удовлетворяет следующему условию:
для каждого конечного множества элементов <math>a_1,\;\ldots,\;a_n</math> в <math>G</math> (<math>a_i\neq e</math>) можно так подобрать знаки <math>\varepsilon_1,\;\ldots,\;\varepsilon_n</math> (<math>\varepsilon_i=1</math> или <math>\varepsilon_i=-1</math>), что
- <math>P\cap S(a_1^{\varepsilon_1},\;\ldots,\;a_n^{\varepsilon_n})=\varnothing.</math>
Здесь
- <math>S(a_1,\;\ldots,\;a_n)</math> — инвариантная подполугруппа, порожденная элементами <math>a_1,\;\ldots,\;a_n</math>,
- <math>P=\{x\in G\mid0\leqslant x\}</math> — положительный конус отношения <math>\leqslant</math>.
Частичный порядок абелевой группы может быть продолжен до линейного тогда и только тогда, когда она без кручения, то есть все её элементы, кроме нейтрального бесконечного порядка.
Теорема Душника — Миллера в этом случае обобщается следующим образом: частичный порядок <math>\leqslant</math> группы <math>G</math> тогда и только является пересечением линейных порядков, когда из <math>a\notin P</math> следует, что для каждого конечного множества элементов <math>a_1,\;\ldots,\;a_n</math> в <math>G</math> (<math>a_i\neq e</math>) существуют такие подходящие знаки <math>\varepsilon_1,\;\ldots,\;\varepsilon_n</math> (<math>\varepsilon_i=1</math> или <math>\varepsilon_i=-1</math>), что
- <math>P\cap S(a,\;a_1^{\varepsilon_1},\;\ldots,\;a_n^{\varepsilon_n})=\varnothing.</math>
Частичный порядок абелевой группы является пересечением линейных порядков тогда и только тогда, когда <math>\leqslant</math> изолирован, то есть из <math>a^n\geqslant e</math> для некоторого натурального числа <math>n</math> следует <math>a\geqslant e</math>.
Случай векторных пространств
Любое отношение частичного порядка, заданное на векторном пространстве и согласованное с его структурой, может быть продолжено до согласованного отношения линейного порядка.
Ссылки
См. также
