Русская Википедия:Теорема Эрмита — Билера
Теорема Эрмита — Билера — утверждение комплексного анализа, определяющие необходимые и достаточные условия устойчивости многочлена. Является частным случаем теоремы Чеботарёва.
Формулировка
Многочлен <math>f</math> тогда и только тогда устойчив, когда корни многочленов <math>g</math> и <math>h</math> перемежаются и хотя бы для одного <math>\omega_{0}</math> <math>g(\omega_{0})h^{'}(\omega_{0})-g^{'}(\omega_{0})h(\omega_{0})>0</math>. Для многочлена <math>f</math> с вещественными коэффициентами это неравенство равносильно неравенству <math>a_{n-1}a_{n}>0</math>.
Пояснения
Здесь многочлен <math>f = a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+ ... + a_{n-1}z+a_{n}</math> при <math>a_{0}>0</math>, числа <math>a_0, a_1, ... a_n</math> — произвольные комплексные числа. Многочлен <math>f</math> называется устойчивым, если вещественные части всех его корней отрицательны. Функции <math>g</math> и <math>h</math> определяются следующим образом. Подставив в многочлен <math>f</math> вместо <math>z</math> чисто мнимое число <math>i\omega</math> получаем комплексное число <math>f(i\omega) = g(\omega) + ih(\omega)</math>. Корни многочленов <math>g</math> и <math>h</math> с вещественными коэффициентами перемежаются, если оба многочлена имеют только вещественные и простые корни и между любыми двумя соседними корнями одного многочлена содержится один и только один корень другого многочлена.
Литература
- Постников М. М. Устойчивые многочлены, М., Наука, 1981, 176 стр.
