Русская Википедия:Теорема косинусов

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Стандартные обозначения

Стандартные обозначения углов и сторон треугольника

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники.

Формулировка

Для плоского треугольника со сторонами <math>a, b, c</math> и углом <math>\alpha</math>, противолежащим стороне <math>a</math>, справедливо соотношение:

<math> a^2 = b^2 + c^2 -2\cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha.</math>

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

Следствия

• Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника

  <math>\cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} </math>

В частности,

• Если <math> b^2 + c^2 - a^2 > 0</math>, угол α — острый
• Если <math> b^2 + c^2 - a^2 = 0</math>, угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов становится теоремой Пифагора)
• Если <math> b^2 + c^2 - a^2 < 0</math>, угол α — тупой

• Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде:

<math> a^2 = (b + c)^2 - 4\cdot b \cdot c \cdot \cos^2 (\alpha/2) </math>,

<math> a^2 = (b - c)^2 + 4\cdot b \cdot c \cdot \sin^2 (\alpha/2) </math>.

• Находя из двух последних формул в явном виде <math>\cos (\alpha/2) </math> и <math> \sin (\alpha/2)</math>, получим известные формулы геометрии:

  <math>\cos \frac{\alpha}{2}= \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}</math>, <math>\sin \frac{\alpha}{2}= \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}</math>, <math> \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}} </math>, где p — полупериметр.

• Наконец, используя правые части формул для <math>\cos (\alpha/2) </math> и <math> \sin (\alpha/2) </math> и известную формулу площади треугольника: <math>S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} bc \sin \alpha </math>, а также известную формулу синуса двойного угла <math> \sin \alpha = 2 \sin (\alpha/2) \cos (\alpha/2) </math> после небольших преобразований получим известную формулу Герона для площади треугольника: <math>S_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>, где p — полупериметр.

Для других углов

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

<math>c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma</math>

<math>b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta</math>

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

<math>\alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)</math>

<math>\beta=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)</math>

<math>\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)</math>

История

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в предложениях 12 и 13 книги II «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.Шаблон:Rp Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения

• Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трёхгранного угла.
• Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)
• Тождество параллелограмма. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также Теорема Птолемея):

  <math>AC^2+BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2.</math>

Для евклидовых нормированных пространств

Пусть в евклидовом пространстве <math>E</math> задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть <math>\left\Vert \vec{a} \right\Vert = \sqrt{(\vec{a}, \vec{a})}</math>. Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом: Шаблон:Рамка Теорема.
<math>\left\Vert \vec{a}-\vec{b} \right\Vert^2 = \left\Vert \vec{a} \right\Vert ^2 + \left\Vert \vec{b} \right\Vert ^2 - 2(\vec{a},\vec{b})</math>

Для четырёхугольников

Возводя в квадрат тождество <math>\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}</math> можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

<math>d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B-2ac\cos\omega-2bc\cos\angle C</math>, где <math>\omega</math> — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

<math>d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos\angle C</math>

Формула справедлива и для тетраэдра, под <math>w</math> подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.

С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами <math>a</math> и <math>c</math> зная все ребра тетраэдра:

<math>\cos w =(b^2+d^2-e^2-f^2)/2ac </math>

Где <math>b</math> и <math>d</math>, <math>e</math> и <math>f</math> пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольника

Файл:Tetragon measures.svg

Четырехугольник

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов: Шаблон:Теорема

• Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
• Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

Симплексы

<math>S_i S_j \cos\angle A = \frac{(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1} ((n-1)!)^2} \begin{vmatrix}

0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1(n+1)}^2 \\ 1 & d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2(n+1)}^2 \\ 1 & d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3(n+1)}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{(n+1)1}^2 & d_{(n+1)2}^2 & d_{(n+1)3}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}</math> при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится <math>d_{ij}</math> или <math>d_{ji}</math>.

<math>\angle A</math> — угол между гранями <math>S_i</math> и <math>S_j</math>, <math>S_i</math> — грань, находящаяся против вершины i, а <math>d_{ij}</math> — расстояние между вершинами i и j.

См. также

• Решение треугольников
• Скалярное произведение
• Соотношение Бретшнайдера
• Теорема косинусов для трёхгранного угла
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Сферическая теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции

Литература

• Книга:Понарин Я. П.: Элементарная геометрия