Русская Википедия:Теорема котангенсов
Теорема котангенсов — тригонометрическая теорема, связывающая радиус вписанной окружности треугольника с длиной его сторон. Теорему котангенсов удобно использовать при решении треугольника по трём сторонам.
Формулировка
Пусть
- <math>a, b, c</math> — длины трёх сторон треугольника,
- <math>A, B, C</math> — углы, лежащие напротив, соответственно, сторон <math>a, b, c</math>,
- <math> r </math> — радиус вписанной окружности треугольника и
- <math> p = \frac{a+b+c}{2 } </math> — полупериметр треугольника.
Тогда справедливы следующие формулы:[1]
- <math>\mathrm{ctg}{ \frac{A}{2 }} = \frac{p-a}{r}</math>,
- <math>\mathrm{ctg}{ \frac{B}{2 }} = \frac{p-b}{r}</math>,
- <math>\mathrm{ctg}{ \frac{C}{2 }} = \frac{p-c}{r}</math>,
или эквивалентно:
- <math> \frac{p-a}{\mathrm{ctg}(A/2)} = \frac{p-b}{\mathrm{ctg}(B/2)} = \frac{p-c}{\mathrm{ctg}(C/2)} = r </math>.
Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен отношению полупериметра минус длина противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.
Обобщение
В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны.
Следствия
Из теоремы котангенсов может быть получено выражение для радиуса вписанной окружности <math> r = \sqrt{\frac{1}{p} (p-a)(p-b)(p-c)} </math>. Далее, так как площадь треугольника <math>S = p r</math>, из теоремы котангенсов следует формула Герона.
См. также
- Теорема косинусов
- Теорема о проекциях
- Теорема синусов
- Теорема тангенсов
- Тригонометрические тождества
- Тригонометрические функции
- Формулы Мольвейде
Примечания
См. также
Шаблон:Тригонометрия Шаблон:Треугольник
- ↑ The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
