Русская Википедия:Теорема об униформизации
Материал из Онлайн справочника
Теорема об униформизации — обобщение теоремы Римана об отображении на двумерные римановы многообразия. Можно сказать, что теорема даёт наилучшую метрику в данном конформном классе.
Формулировка
Любая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна сфере Римана <math>\widehat{\mathbb C}</math> комплексной плоскости <math>\mathbb C</math>, либо открытому единичному диску <math>\mathbb D=\{\,z\in \Complex : |z|<1\,\}</math>.
Следствия
- Любая риманова метрика на связном двумерном многообразии конформно эквивалентна полной метрике с постоянной кривизны.
- Если многообразие замкнуто, то знак кривизны можно найти по его эйлеровой характеристике.
- Если эйлерова характеристика положительна, то многообразие конформно эквивалентно сфере или проективной плоскости с канонической метрикой.
- Если эйлерова характеристика равна нулю, то многообразие конформно эквивалентно плоскому тору или плоской бутылке Кляйна. При этом у тора и бутылки Кляйна существует 2-параметрическое семейство плоских метрик, не конформно эквивалентных друг другу.
- Если эйлерова характеристика отрицательна, то многообразие конформно эквивалентно гиперболической поверхности.
- Если многообразие замкнуто, то знак кривизны можно найти по его эйлеровой характеристике.
Вариации и обобщения
- Теорема геометризации может рассматриваться как обобщения теоремы об униформизации на трёхмерные многообразия.
Литература
