Русская Википедия:Теоремы Томсона и Тета

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теоремы Томсона и Тета ― формулируют условия, необходимые для того, чтобы можно было стабилизировать гироскопическими силами неустойчивую потенциальную систему. Были доказаны в 1879 г.. Пользуясь теоремой Томсона и Тета, можно исследовать устойчивость волчкаШаблон:Sfn, системы инерциальной навигацииШаблон:Sfn и гироскопического однорельсового вагонаШаблон:Sfn.

Первая теорема Томсона и Тета

Если неустойчивость невозмущенного движения потенциальной системы имеет нечётную степень, то стабилизировать движение нельзя никакими гироскопическими силами.Шаблон:Sfn

Вторая теорема Томсона и Тета

Если невозмущенное движение <math>z=0</math> и <math>\dot{z}=0</math> потенциальной системы устойчиво, то при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил (не обязательно полной диссипации) устойчивость движения сохраняется.Шаблон:Sfn

Третья теорема Томсона и Тета

Если невозмущенное движение <math>z=0</math> и <math>\dot{z}=0</math> устойчиво при одних потенциальных силах, то оно становится асимптотически устойчивым при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил с полной диссипацией.Шаблон:Sfn

Четвёртая теорема Томсона и Тета

Невозмущенное движение <math>z=0</math> и <math>\dot{z}=0</math>, неустойчивое под действием потенциальных сил, остаётся неустойчивым при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил с полной диссипацией.Шаблон:Sfn

Пояснения

Степенью неустойчивости называется число отрицательных коэффициентов <math>c_{k}</math> в системе <math>s</math> уравнений <math>\ddot{z_{1}}+c_{1}z_{1}=0, ... \ddot{z_{s}}+c_{s}z_{s} = 0</math>, описывающей движение возмущённой системы.Шаблон:Sfn

Гироскопическими называются силы <math>F=G\dot{x}</math>, линейно зависящие от скоростей и имеющие кососимметрическую матрицу коэффициентов <math>G = \left \| g_{kj} \right \|</math>Шаблон:Sfn

Диссипативными называются силы <math>F=B\dot{x}</math>, линейно зависящие от скоростей и имеющие симметрическую матрицу коэффициентов <math>B = \left \| b_{kj} \right \|</math>, такую, что квадратичная форма <math>F=\frac{1}{2}B\dot{x} \cdot \dot{x}</math> положительна.Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга